Manache算法

　　是一個判斷回文子串的算法，我們結合例題解釋：

　　　　　題目：給定一個長度為 n 的字符串 S，求其最長回文子串 一個字符串是回文的，當且僅當反轉後的串與原串完全相等

　　　對於這個題目，有三種主流思路:

　　　　　　一：Hash+二分

　　　　　　　　　　　　計算字符串的前綴hash值

　　　　　　　　　　　　枚舉中點，二分回文字串的長度

　　　　　　　　　　　　時間復雜度：$O(nlogn)$

　　　　　　　　二：回文自動機

　　　　　　　　　復雜度是線性的,但是編程復雜度極高，思維難度極高。

　　　　　　　三：Manache算法

　　　　　　復雜度是線性的，思維難度低，編程難度低

　　　　　　對於Manache算法，我們先考慮樸素做法：枚舉回文串中心，然後向兩邊擴展，這樣的復雜度是$O(N^2)$的，

　　　　　　但是類比KMP算法，我們在樸素算法中，沒有考慮到已經計算的部分對於之後結果的貢獻，樸素方法的突破口就在這裏了。

　　　　　　考慮優化：由於回文串長度分奇偶，有點麻煩，所以，我們考慮在每個字符中間插入一個‘#‘字符，來保證字符串的奇性。特別的，在字符串前兩個字符，插入\$和#,對於\$的作用是：防止數組越界，既下文代碼中的whie()函數，來確保其遇到字符串開頭立即停止（因為對於$字符，其為唯一的，不可能有字符與其匹配）。

　　　　　　我們引入輔助數組$len[i]$ 來表示以$i$為中心，最大回文串的半徑，顯然的，對於每一個$len[i]$，$len[i]-1$就是原來回文串的長度，我們結合一個樣例來說明：

　　　　　　原字符串：$ # A # B # A # A # B #

　　　　　　$len$數組　 1 1 2 1 4 1 2 2 2 1 2 1

　　　　　　原來的最長回文串是$3$ 也就是$len[4]-1$ （從0開始標號）。

　　　　　　對吧？

　　　　　　接下來的問題，就是如何計算$len$數組了 ， 這確實是個問題，不過我們可以通過下面的辦法解決：

　　　　　　考慮$len[i]$ 以及當前求出的回文右邊界$mx$ ， $id$ 是對應的回文中心，如果$i<mx$ 則附上初值$min{mx-i,p[j]}$,其中，$j$是$i$關於$id$的對稱坐標，通過中點坐標公式，我們可以得出：$j=id*2-i$ 。

　　　　　　否則($i>=mx$)附上初值$len[i]=1$.

　　　　　　然後，向兩邊擴展就好了。可以結合下面的圖像理解：

　　　　　　　　　帶有下劃線的部分，是已經計算得出的回文串。

　　　　　　代碼實現:

void Manache() {
    int pos=0,mx=0;
    for(register int i=1;i<=n;++i) {
        len[i]=i<mx?min(len[(pos<<1)-i],mx-i):1;
        while(b[i-len[i]]==b[i+len[i]]) len[i]++;
        if(i+len[i]>mx) mx=i+len[i],pos=i;
    }
}

【文文殿下】Manache算法-學習筆記