一、簡介

KMP是由Knuth、Morris和Prat發明的字符串匹配算法，它的時間復雜度是均攤\(O(n+m)\)。其實用Hash也可以做到線性，只不過Hash存在極其微小的難以避免的沖突。於是就有了KMP。

KMP算法用作模式串匹配，可以找到一個長為\(m\)的模式串在一個長為\(n\)的主串中出現的次數和位置。

二、樸素算法(\(O(nm)\))

實際上是枚舉模式串在主串中出現的位置，然後一一比對，出現錯誤就停止，移動到下一位。連續匹配成功\(m\)次就說明模式串在主串中出現了。

其實\(O(nm)\)是一個比較寬的上界，隨機數據遠沒有這麽慢。不過給出主串S="aaaaaaaaaaa"

三、KMP算法

0.註意事項

KMP算法中，字符數組下標是從1開始而不是0，這樣會比較方便，在匹配的時候直接調用nxt數組就不用-1了，而且很直觀。

1.nxt數組(next)

nxt數組是KMP算法的核心。

nxt數組nxt[i]中存的是後綴字符與前綴字符相同的個數，且後綴字符不是前綴字符，也就是不能完全匹配自己。

對於ababcab而言，它的nxt數組是

看上去很簡單。但是它怎麽求呢？當然，如果遞推掌握的比較好，可以知道，如果T[i+1]==T[nxt[i]+1]，那nxt[i+1]=nxt[i]+1。而失配了怎麽辦，是我們接下來要解決的問題。

2.nxt數組的作用

在上面我們提到了，KMP算法是減少了樸素算法的重復匹配，均攤下來每個字符只匹配了一次。在上面的表格中，我們看到了nxt數組處理出了模式串後綴與前綴匹配數。當我們用模式串匹配主串，在後綴失配時，在模式串裏與後綴相同

3.nxt失配的求法

可以看出，求nxt數組，就是在用模式串匹配自己，且不匹配第一位。當我們發現T[i+1]與T[nxt[i]+1]失配時，比nxt[i]要次一點但是仍然與T[i]所在後綴相同的前綴就是nxt[nxt[i]]了。就是我們相當於退而求其次，“貪心地”按長度從大到小找一個最能匹配上後綴的前綴。

匹配不到的情況

比如說

ababababc
        ↑

如果匹配到第8+1位時失配了，這時就去找第nxt[8]+1位，（nxt[8]=6）也就是第6+1位。此時發現還是不行，繼續找第nxt[6]+1位……直到找到nxt[1]=0，退出循環，再看看第一位是否匹配，如果匹配，nxt[9]=1，否則nxt[9]=0。

重新匹配到的情況

abcaba
     ↑

這裏匹配到第5+1位發現失配，去找nxt[5]+1=2+1，仍然不行，但是nxt[2]=0了，此時退出循環，發現T[1]=T[6]，所以nxt[6]=1。

其實情況還有很多很多種，這裏只是列舉了幾種，想讓nxt數組的求法變得更加形象一些。

四、KMP代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
char s[1000100];
char t[1000100];
int nxt[1000100];
int f[1000100];
int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    scanf("%s",t+1);
    int n=strlen(s+1);
    int m=strlen(t+1);
    for(int i=2,j=0;i<=m;++i)
    {
        while(j&&t[i]!=t[j+1])
            j=nxt[j];
        if(t[j+1]==t[i])
            ++j;
        nxt[i]=j;
    }
    for(int i=1,j=0;i<=n;++i)
    {
        while(j&&(j==m||s[i]!=t[j+1]))
            j=nxt[j];
        if(t[j+1]==s[i])
            ++j;
        f[i]=j;
        if(f[i]==m)
            printf("%d\n",i-m+1);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i)
        printf("%d ",nxt[i]);
    return 0;
}

【KMP】【字符串】KMP字符串匹配算法 學習筆記