算法之時間復雜度

雖然計算機能快速的完成運算處理，但實際上，它也需要根據輸入數據的大小和算法效率來消耗一定的處理器資源。要想編寫出能高效運行的程序，我們就需要考慮到算法的效率。

算法的效率主要由二哥復雜度來評估：

時間復雜度：評估執行程序所需的時間。可以估算出程序對處理器的使用程度。

空間復雜度：評估執行程序所需的存儲空間。可以估算出程序對計算機內存的使用程度。

時間復雜度

時間頻度

一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。並且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為T(n)。

時間復雜度

前面提到的時間頻度T(n)中，n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什麽規律，為此我們引入時間復雜度的概念。一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T（n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數，記作T(n)=O(f(n))【大O表示法】，它稱為算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。

大O表示法

像前面用O( )來體現算法時間復雜度的記法，我們稱之為大O表示法。

大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以為1、n、logn、n2等，因此我們可以將O(1)、O(n)、O(logn)、O(n2)分別可以稱為常數階、線性階、對數階和平方階，那麽如何推導出f(n)的值呢？我們接著來看推導大O階的方法。

推到大O階

1. 用常數1來取代運行時間中所有加法常數。

2. 修改後的運行次數函數中，只保留最高階項 。

3. 如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。

舉例：

常數階

int a=1 ;//執行一次
int b-1; //執行一次
int c=a+b；//執行一次

上面算法的運行的次數的函數為f(n)=3，根據推導大O階的規則1，我們需要將常數3改為1，則這個算法的時間復雜度為O(1) 。如果int c =a+b這條語句再執行100遍，時間復雜度仍然是O(1), 因為這與問題大小n的值並沒有關系，我們可以稱之為常數階。

線性階

for(int i=0;i<n;i++)
{
  var a=n; // 1*n次 
}
 

上面的循環執行了n次，因此時間復雜度為O(n)。 如果再循環體裏面再加一條 var b=2n, 時間復雜度仍然為O(n)。

對數階

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//時間復雜度為O(1)的算法
...
}

可以看出上面的代碼，隨著number每次乘以2後，都會越來越接近n，當number不小於n時就會退出循環。假設循環的次數為X，則由2^x=n得出x=log?n，因此得出這個算法的時間復雜度為O(logn)。

平方階

for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         //復雜度為O(1)的算法
         ... 
      }
  }

內層循環的時間復雜度在講到線性階時就已經得知是O(n)，現在經過外層循環n次，那麽這段算法的時間復雜度則為O(n2)。

常見算法的時間復雜度

冒泡排序（交換排序）

最好：O(N)

平均：O(N^2)

最壞：O(N^2)

特點：1、冒泡排序是一種用時間換空間的排序方法，n小時好 。2、最壞情況是把順序的排列變成逆序，或者把逆序的數列變成順序，最差時間復雜度O(N^2)只是表示其操作次數的數量級 3、最好的情況是數據本來就有序，復雜度為O(n)

快速排序（交換排序）

最好：O(N*log2N)

平均：O(N*log2N)

最壞：O(N^2)

特點：1、n大時好，快速排序比較占用內存，內存隨n的增大而增大，但卻是效率高不穩定的排序算法。 2、劃分之後一邊是一個，一邊是n-1個， 這種極端情況的時間復雜度就是O(N^2) 3、最好的情況是每次都能均勻的劃分序列，O(N*log2N)

直接選擇（選擇排序）

最好：O(N)

平均：O(N^2)

最壞：O(N^2)

數據結構子時間復雜度