<題目鏈接>

題目大意：

給出一些數字組成的n*n階矩陣，這些數字都在[10,99]內，並且這個矩陣的 3<=n<=15,從這個矩陣中隨機取出一些數字，在取完某個數字後，該數字周圍8個點都不能取，問：取得數字的最大和為多少？

解題分析:

由於對每一個數，有選和不選兩種可能，分別對應狀態壓縮中的1和0，且 n<=15,1<<15不是非常大，因此就可以非常自然的想到狀態壓縮。

此題要與普通的狀壓dp不同的是，當某一行取某種方案時，如何求出這種取數的所有取得的數之和，就是下面的bit數組，還有要註意一下輸入。

#include<cstdio>                  //
 
此題要掌握的是，當某一行取某種方案時，如何求出這種取數的所有取得的數之和，就是下面的bit數組
#include<iostream>                //還要註意如何讀入的格式，挺難的
#include<cstring>
#include <algorithm>
#define N (1<<15)+10
int dp[20][N];//dp表示第i行j方案時獲得的最大值 
int a[20][20], t[N], cnt, n, bit[N];//cnt存合法方案總數 
using namespace std;

void init()                //
 
此題要掌握的技巧是，當某一行取某種方案時，如何求出這種取數的所有取得的數之和，就是下面的bit數組
{
    bit[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)      //存下2的1~15次方，與之後的狀態比較 
        bit[i] = bit[i - 1] << 1;     //bit[2]為2的1次方，bit[3]為2的二次方
}

void solve()
{
    int i, j, k, l;
    cnt = 0;

    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (i = 0; i< (1
 
 << n) - 1; i++)           //用二進制存方案，每行最多有(1<<n)-1中方案，包括不合法方案 
    {
        if (((i << 1)&i) == 0)             //判斷方案i是否相鄰兩格均為1
        {
            for (j = 1; j <= n; j++)
                if ((bit[j] & i))         //這個技巧一定要掌握，非常妙***
                    dp[1][i] += a[1][j];   //先處理第一行的所有方案    dp[1][i]表示第一行取第i種方案時，在第一行得到的所有數的總數
            t[++cnt] = i;                //這裏的t[]數組也同時表示每一行的合法情況（只用一行中選取的數不相鄰這一條件來約束時）
        }
    } //初始化dp數組，為下面的狀態轉移方程做好遞推準備


    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        for (j = 1; j <= cnt; j++)
        {
            int posn = 0;
            for (k = 1; k <= n; k++)
                if (bit[k] & t[j])
                    posn += a[i][k];
            for (l = 1; l <= cnt; l++)                                                             //這裏的 t[j]&t[l]就是用來判斷第i行取j方案時，是否與它上一行取的數，有相鄰的，如果有，則這種方案舍棄
                if ((t[j] & t[l]) == 0 && ((t[l] << 1)&t[j]) == 0 && (t[l] >> 1 & t[j]) == 0)      // t[l]<<1 & t[j] 和 t[l]>>1&t[j] 則是分別判斷第i行取的數是否與它右上和左上的數相鄰，如果相鄰，也舍棄
                    dp[i][t[j]] = max(dp[i][t[j]], posn + dp[i - 1][t[l]]);
        }         //dp[i][t[j]]表示當第i行選第j種方案時，前i行能取的數的最大總和
    }
}


int main()//狀態壓縮dp，狀態最多有(2<<15)-1種
{
    int i, j;
    char str[100];
    while (gets_s(str))
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        n = 0;
        for (i = 0; i < strlen(str); i += 3) {
            a[1][++n] = (str[i] - ‘0‘) * 10 + (str[i + 1] - ‘0‘);
        }
        for (i = 2; i <= n; i++)
        {
            gets_s(str);
            int m = 1;
            for (j = 0; j < strlen(str); j += 3) {
                a[i][m++] = (str[j] - ‘0‘) * 10 + (str[j + 1] - ‘0‘);
            }
        }
        getchar();              
        //以上為讀入矩陣,這個輸入還是要註意

        init();
        solve();
        int res = 0;
        for (i = 1; i <= cnt; i++)
            if (res<dp[n][t[i]])            //dp[i][j]表示當第i行選第j種方案時，前i行能取的數的最大總和
                res = dp[n][t[i]];
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

2018-07-26

hdu 2167 方格取數 【狀壓dp】（經典）