方格取數(1)

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Problem Description 給你一個n*n的格子的棋盤，每個格子裡面有一個非負數。
從中取出若干個數，使得任意的兩個數所在的格子沒有公共邊，就是說所取的數所在的2個格子不能相鄰，並且取出的數的和最大。
Input 包括多個測試例項，每個測試例項包括一個整數n 和n*n個非負數(n<=20)
Output 對於每個測試例項，輸出可能取得的最大的和 Sample Input
3
75 15 21 
75 15 28 
34 70 5 
 


Sample Output
188
Author ailyanlu
Source

思路：

建立dp【i】【j】二維陣列，表示第i行狀態為j的最大取值，不難推出其狀態轉移方程：dp【i】【j】=max（dp【i】【j】，dp【i-1】【k】+sum），其中sum表示j狀態下的取值。

首先我們要了解二進位制的表示方法，e.g，當j==5的時候，表示101，也就是在表示取第一個和第三個位子上的數，第二個位子上的數不取。

然後我們可以通過列舉的方法列舉一行裡邊可以選取的方案，其實就是要把帶有相鄰的1的情況拋去。那麼我們可以使用位運算來解決這個問題；那麼具體要如何實現呢？對於與運算（&）計算方式為同位為1結果為1，其餘都是0，我們不妨這樣來判斷一個方案能否有相鄰的1存在，例如現在狀態為j：

j&（j<<1），假如現在j==7

1 1 1&1 1 1 0=0110，

又假如現在j==5

1 0 1&1 0 1 0 =0;

不難發現如果值不為0，那麼就表示這種情況有相鄰的1，否則沒有。對於這部分的程式碼實現：

</pre><pre name="code" class="cpp">        for(int i=0; i<end; i++)
        {
            if((i&(i<<1))==0)
            {
                q[cont++]=i;
                //printf("%d\n",i);
            }
        }
 

然後就是對於dp部分的處理，我們列舉每一行的狀態j（j屬於陣列q），算出這一行這種狀態j下的取值和，使得dp【i】【j】=sum。再列舉上一行的狀態k，如果j狀態和k狀態沒有上下相鄰的1，那麼就有：dp【i】【j】=max（dp【i】【j】，dp【i-1】【k】+sum）對於j狀態和k狀態能否有相鄰的1.直接&即可。（剛剛把這種操作已經詳解，這裡不再囉嗦）。

對於這部分的程式碼實現：

        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<cont; j++)
            {
                int sum=0;
                for(int k=0; k<n; k++)
                {
                    if((q[j]&(1<<k))!=0)
                    {
                        sum+=a[i][k];
                    }
                }
                dp[i][j]=sum;
                if(i>=1)
                for(int k=0; k<cont; k++)
                {
                    if((q[j]&q[k])==0)
                    {
                        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][k]+sum);
                    }
                }
            }
        }

最後在第n-1行裡邊列舉一遍維護最大值即可。

另外注意一個問題，開1<<20的陣列會MLE，因為我們直接枚舉出cont個可以的方案（沒有相鄰1）其方案數不會達到這麼大，所以我們陣列也就不用開辣麼大。

AC程式碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[25][25];
int dp[21][200000];
int q[200000];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                scanf("%d",&a[i][j]);
            }
        }
        int cont=0;
        int end=1<<n;
        for(int i=0; i<end; i++)
        {
            if((i&(i<<1))==0)
            {
                q[cont++]=i;
                //printf("%d\n",i);
            }
        }
       // printf("%d\n",cont);
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<cont; j++)
            {
                int sum=0;
                for(int k=0; k<n; k++)
                {
                    if((q[j]&(1<<k))!=0)
                    {
                        sum+=a[i][k];
                    }
                }
                dp[i][j]=sum;
                if(i>=1)
                for(int k=0; k<cont; k++)
                {
                    if((q[j]&q[k])==0)
                    {
                        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][k]+sum);
                    }
                }
            }
        }
        int output=0;
        for(int i=0; i<cont; i++)
        {
            output=max(output,dp[n-1][i]);
        }
        printf("%d\n",output);
    }
}