幾種簡單的求素數算法的復雜度分析
阿新 • • 發佈：2018-08-05
二層 == lse range 復雜度 現在 求素數算法 及其 兩種
素數的算法有很多種，現在主要講兩種算法及其改進版本的復雜度分析，解釋性能提升的幅度。現以求100000內素數為例，兩種算法分別是：
１．基礎思路是去掉偶數，包括取模的範圍，代碼如下：
print(2)
for i in range(3,100000,2):
for a in range(3,int(i*0.5)+1,2):
if i%a == 0:
break
else:
print(i,end = ‘ ‘)
此兩層循環的算法的復雜度為0.5n((n**0.5+1)/2)
２．應用一個素數定理：大於６的素數一定與６的倍數相鄰，代碼如下： print(2,3,end = ‘ ‘)
t = 100000 // 6 + 1
for i in range(1,t):
x = 6 * i - 1
for j in range(3,int(x**0.5)+1,2):
if x % j == 0:
break
else:
print(x ,end = ‘ ‘)
y = 6 * i + 1
for j in range(3, int(y0.5)+1,2):
if y % j == 0:
break
else:
print(x ,end = ‘ ‘)
此算法的復雜度為(n/3052)(n0.5+1)/2,將總範圍分成３０為一塊，則６的倍數有５個，相鄰的數就是１０個。
優化思路： 對於１號算法，我們知道末尾是５的數一定能被５整除，所以末位是５的數一定不是素數，復雜度可以降為0.4*n*((n**0.5+1)*0.4)。不是偶數且末為不是５，就剩（１，３，７，９），所以４/10=0.4,第二層循環也是如此。優化效率提升56%(0.5**2/0.4**2-1=0.56)。 對於２號算法，思路也是刨去末位為５的數。例如，30~60這一塊內，６的倍數有（36,42,48,54,60）,相鄰的數是（35,37,41,43,47,49,53,55,59,61）,有兩個末位是５的數（35,55）,所以將總範圍分成３０為一塊，只需計算８個數，優化後復雜度為(n/30*(5*2-2))*(n**0.5+1)*0.4=4/15*n*(n**0.5+1)*0.4。相比優化後的１號算法，優化後的２號算法效率提升50%(其余項約分，只剩0.4/(4/15),所以0.4/(4/15)-1=0.5)。 綜上可見，降低算法復雜度是提高解決問題效率的不二法門。
幾種簡單的求素數算法的復雜度分析