數據結構重點關註的是算法的效率問題，因此，我們後面會集中於討論算法的時間復雜度；但其使用的方法完全可以用於空間復雜度的判斷！我們經常在進行算法的時間復雜度用大O表示法來進行分析。下來對此種方法進行說明，算法效率嚴重依賴於操作（Operation）數量；操作數量的估算可以作為時間復雜度的估算；在判斷時首先關註操作數量的最高次項。如下：

下來我們來分析下常見的時間復雜度：

1、線性階時間復雜度：O(n)。如下：

2、對數階時間復雜度：O(logn)。如下

3、平方階時間復雜度：O(n2)。如下：

下來我們來看看常見的時間復雜度，如下圖所示

常見的時間復雜度的比較，如下

下面我們通過實例來進行分析下，下面的函數程序復雜度是怎樣的

int find(int a[], int n, int v)
{
    int ret = -1;
    
    for(int i=0; i<=n; i++)
    {
        if( a[i] == v )
        {
            ret = i;
            break;
        }
    }
    
    return ret;
}

我們如果定義的數組 a[5] = {1, 2, 3, 4, 5}； 如果是 int min = find(a, 5, 1)； 這種則是最好情況了，僅需執行 1 次循環，此時便是 O(1)；如果是 int max = find(a, 5, 5)；此時便是最壞的情況了，需要全部執行，此時便是 O(n)。那麽此時算法的最好與最壞情況便體現出來了，當算法在最乖情況下仍然能滿足需求時，可以推斷，算法的最好情況和平均情況都滿足需求。在以後沒有進行特殊說明時，所分析算法的時間復雜度都是指最壞時間復雜度。

算法的空間復雜度（Space Complexity），其定義為 S(n) = S(f(n))。其中 n 為算法的問題規模，f(n) 為空間使用函數，與 n 相關。推倒時間復雜度的方法同樣適用於空間復雜度

long sum1(int n)
{
    long ret = 0;
    int* array = new int[n];
    
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        array[i] = i + 1;
    }
    
    for(iunt i=0; i<n; i++)
    {
        ret += array[i];
    }
    
    delete[] array;
    
    return ret;
}

我們看到第一行為 1，第三行的 ret 定義也為 1，指針數組 array 的定義其空間復雜度為 n，下面兩個進行 for 循環的空間復雜度分別為 1。因此整個程序所需的單位內存為： n + 4；即空間復雜度：S(n+4) = S(n)。那麽時間跟空間之間是否存在某種聯系呢？在多數情況下，算法的時間復雜度更令人關註，因為現在的內存都很大。如果有必要的話，可以通過增加額外空間降低時間復雜度；同理，也可以增加算法的耗時降低空間復雜度。下來我們來看個空間換時間的示例代碼，代碼的背景是在 1-1000 中的某些數字搜組成的數組中，設計一個算法類找出出現次數最多的數字。

#include <iostream>

using namespace std;

void sreach(int a[], int len)
{
    int pi[1000] = {0};
    int max = 0;
    
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        pi[a[i] -1]++;
    }
    
    for(int i=0; i<1000; i++)
    {
        if( max < pi[i] )
        {
            max = pi[i];
        }
    }
    
    for(int i=0; i<1000; i++)
    {
        if( max == pi[i] )
        {
            cout << i + 1 << endl;
        }
    }
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    int a[] = {1, 1, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 3, 3};
    
    sreach(a, sizeof(a)/sizeof(*a));
    
    return 0;
}

我們來看看打印結果

我們看到打印了 3 和 6，因為最大數 6 出現了 3 次。那麽此次我們的程序實現中函數的時間復雜度為 O(n)。那麽問題來了，當兩個算法的大 O 表示法相同時，是否意味著兩個算法的效率完全相同呢？肯定是不相同的！通過今天對算法的時間復雜度和效率的學習，總結如下：1、時間復雜度是算法運行時對於時間的需求量；2、大 O 表示法用於描述算法的時間復雜度，它只關註操作數量的最高次項；3、常見的時間復雜度為：線性階，平方階和對數階；4、一般而言，在工程中使用的算法其復雜度都不超過 O(n3)；5、算法分析與設計時，重點考慮最壞情況下的時間復雜度，大 O 表示法用於適用於算法的空間復雜度；6、空間換時間是工程開發中常用的策略。

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算法時間復雜度及效率（二）