一、問題描述

物品無限的背包問題：有n種物品，每種均有無窮多個。第 i 種物品的體積為Vi,重量為Wi。選一些物品裝到一個容量為 C 的背包中，求使得背包內物品總體積不超過C的前提下重量的最大值。1≤n≤100, 1≤Vi≤C≤10000, 1≤Wi≤1000000.

二、解題思路

我們可以先求體積恰好為 i 時的最大重量（設為d[i]），然後取d[i]中的最大值（i ≤ C）。與之前硬幣問題，“面值恰好為S”就類似了。只不過加了新屬性——重量，相當於把原來的無權圖改成帶權圖，即把“+1”變成“+W[j]”。這樣，問題就變成了求以C為起點、終點任意的，邊權之和最大的路徑。

三、代碼實現

1、記憶化搜索

之前糾結這種方法的時間復雜度，先給結果:O(maxn * maxc)。因為計算dp(s)時，如果dp[i]中i是從0-->C，

則dp[i] = max(dp[i],dp[i - V[j]] + W[j]),dp[i - V[j]]已經計算出來且保存，相當於得到dp[i]沒有花費時間。如果dp[i]中i是從C-->0，

每次計算的都被保存且只計算一次，有幾次小的遞歸，也相當於沒有花費時間。

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int INF = 0x3f3f3f3f
 
;
 8 const int maxn = 100 + 10;
 9 const int maxc = 10000 + 10;
10 int n,V[maxn],W[maxn],C;
11 int d[maxc];        //d[i]表示總體積恰好為i時的最大重量
12 
13 int dp(int s)
14 {
15     int& ans = d[s];
16     if (ans != -1)  return ans;
17     ans = - INF;
18     for (int i = 0; i < n; i++)
19     {
20         if (s >= V[i])  ans = max(ans, dp(s - V[i]) + W[i]);
 
21     }
22     return ans;
23 }
24 void slove()
25 {
26     memset(d, -1, sizeof(d));
27     d[0] = 0;
28     int res = -1;
29     for (int i = 0; i <= C; i++)
30         res = max(res, dp(i));
31     printf("%d\n", res);
32 }
33 
34 int main()
35 {
36     while (scanf("%d",&n) == 1 && n)
37     {
38         scanf("%d", &C);
39         for (int i = 0; i < n; i++)
40             scanf("%d%d", &V[i], &W[i]);
41 
42         slove();
43     }
44     return 0;
45 }

2、遞推式

這種寫法時間復雜度十分顯然，與記憶化搜索相同，都是O(maxn * maxc)。但必須註意循環的順序，比如容量只能從0-->C,而不能反過來，前一種寫法則沒有循環的順序要求。

 1 void slove()
 2 {
 3     fill(d, d + n, -INF);
 4     d[0] = 0;
 5     int res = -1;
 6     for (int i = 0; i <= C; i++)        //容量的循環順序只能是從小到大
 7     {
 8         for (int j = 0; j < n; j++)
 9         {
10             if(i >= V[j])  d[i] = max(d[i], d[i - V[j]] + W[j]);
11         }
12         res = max(res, d[i]);
13     }
14     printf("%d\n", res);
15 }

3、兩者比較

在得到狀態轉移方程之後，還需要思考如何編寫程序。盡管在很多情況下，記憶化搜索程序更直觀、易懂，但在0-1背包中遞推法更理想。因為已知狀態轉移方程後，遞推法的難點是循環順序，而有了“階段”定義後，循環順序變得十分顯然。

由DAG到背包問題——記憶化搜索和遞推兩種解法