割點(Tarjan算法)【轉載】
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供大家學習
前言:之前翻譯過一篇英文的關於割點的文章(英文原文、翻譯),但是自己還有一些不明白的地方,這裏就再次整理了一下。有興趣可以點我給的兩個鏈接。
割點的概念
在無向連通圖中,如果將其中一個點以及所有連接該點的邊去掉,圖就不再連通,那麽這個點就叫做割點(cut vertex / articulation point)。
例如,在下圖中,0、3是割點,因為將0和3中任意一個去掉之後,圖就不再連通。如果去掉0,則圖被分成1、2和3、4兩個連通分量;如果去掉3,則圖被分成0、1、2和4兩個連通分量。
怎麽求割點
直接DFS
最容易想到的方法就是依次刪除每個割點,然後DFS,但這種方法效率太低,這裏不做討論。
DFS樹
首先需要了解一些關於DFS樹(DFS tree)的概念。以下圖為例:
從點1開始搜索整個圖, 對於每個點相鄰的頂點,按照頂點編號從小到大搜索(也可以按其它順序)。因此上圖的搜索順序如下:
第1步,與1相鄰的點有{2, 4},選2。
第2步,與2相鄰的點有{1, 3, 4},1訪問過,選3。
第3步,與3相鄰的點有{2, 5},2訪問過,選5。
第4步,與5相鄰的點有{3},訪問過,退出。
退回第3步,與3相鄰的點有{2, 5},都訪問過,退出。
退回第2步,與2相鄰的點有{1, 3, 4},1、3訪問過,選4。
第5步,與4相鄰的點有{1, 2},都訪問過,退出。
退回第2步,與2相鄰的點有{1, 3, 4},都訪問過,退出。
退回第1步,與1相鄰的點有{2, 4},都訪問過,退出。
至此,訪問結束。
把訪問頂點的路徑表示出來就是這樣的(訪問已訪問過的頂點時加上刪除線並不再訪問,end表示與某個頂點相鄰的頂點遍歷完畢,{}裏是與一個頂點相鄰的所有頂點)。
1 {2,4}
2 {1,3,4}
1
3 {2,5}
2
5 {3}
3
end
end
4 {1,2}
1
2
end
end
4
end
訪問路徑可以繪制成下圖(綠邊為訪問未訪問頂點時經過的邊,紅邊為訪問已訪問節點是經過的邊):
我們把上圖稱為DFS搜索樹(DFS tree),上圖中的綠邊稱為樹邊(tree edge),紅邊稱為回邊(back edge)。通過回邊可以從一個點返回到之間訪問過的頂點。
你可能會有疑問,“訪問已訪問節點時所經過的邊叫回邊”,我們上面不是沒有訪問嗎?其實是有的,但是為方便就不寫了,而且遇到已訪問的邊(在後面的算法裏)只是簡單計算一下,不再繼續DFS了。
註意,在上圖中,如果與一個頂點相鄰A的頂點B是A的父節點,不表示出來,接下來的算法遇到這種情況也不計算。
Tarjan算法
可以使用Tarjan算法求割點(註意,還有一個求連通分量的算法也叫Tarjan算法,與此算法類似)。(Tarjan,全名Robert Tarjan,美國計算機科學家。)
首先選定一個根節點,從該根節點開始遍歷整個圖(使用DFS)。
對於根節點,判斷是不是割點很簡單——計算其子樹數量,如果有2棵即以上的子樹,就是割點。因為如果去掉這個點,這兩棵子樹就不能互相到達。
對於非根節點,判斷是不是割點就有些麻煩了。我們維護兩個數組dfn[]和low[],dfn[u]表示頂點u第幾個被(首次)訪問,low[u]表示頂點u及其子樹中的點,通過非父子邊(回邊),能夠回溯到的最早的點(dfn最小)的dfn值(但不能通過連接u與其父節點的邊)。對於邊(u, v),如果low[v]>=dfn[u],此時u就是割點。
但這裏也出現一個問題:怎麽計算low[u]。
假設當前頂點為u,則默認low[u]=dfn[u],即最早只能回溯到自身。
有一條邊(u, v),如果v未訪問過,繼續DFS,DFS完之後,low[u]=min(low[u], low[v]);
如果v訪問過(且u不是v的父親),就不需要繼續DFS了,一定有dfn[v]<dfn[u],low[u]=min(low[u], dfn[v])。
代碼
DFS
先回憶一下怎麽用DFS遍歷一個圖,代碼如下:
bool vis[N]; // 頂點是否訪問過 vector<int> g[N]; // 鄰接表表示的圖 // 調用dfs()前需將整個vis[]設為false void dfs(int u) { vis[u] = true; for (int v: g[u]) { if (!vis[v]) dfs(v); } }
Tarjan算法
首先假設u是根節點。如果u有兩棵以上的子樹,則u為割點。代碼:
int children = 0; for (int v: g[u]) { if (!vis[v]) { children++; dfs(v); // 繼續DFS } } if (children >= 2) // u是割點
非根節點呢?按照前面的描述,代碼如下:
// 默認u不能回溯到任何前面的點 low[u] = dfn[u]; for (int v: g[u]) { // (u, v)為樹邊 if (!vis[v]) { // 設置v的父親為u parent[v] = u; // 繼續DFS,遍歷u的子樹 dfs(v); // u子樹遍歷完畢,low[v]已求出,low[u]取最小值 low[u] = min(low[u], low[v]); if (low[v] >= dfn[u]) // u是割點 } // (u, v)為回邊,且v不是u的父親 else if (v != parent[u]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); }
綜合起來,加上一些其它部分,Tarjan算法的代碼如下:
const int V = 20; int dfn[V], low[V], parent[V]; bool vis[V], ap[V]; vector<int> g[V]; void dfs(int u) { static int count = 0; // 子樹數量 int children = 0; // 默認low[u]等於dfn[u] dfn[u] = low[u] = ++count; vis[u] = true; // 遍歷與u相鄰的所有頂點 for (int v: g[u]) { // (u, v)為樹邊 if (!vis[v]) { // 遞增子樹數量 children++; // 設置v的父親為u parent[v] = u; // 繼續DFS dfs(v); // DFS完畢,low[v]已求出,如果low[v]<low[u]則更新low[u] low[u] = min(low[u], low[v]); // 如果是根節點且有兩棵以上的子樹則是割點 if (parent[u] == -1 && children >= 2) cout << "Articulation point: " << u << endl; // 如果不是根節點且low[v]>=dfn[u]則是割點 else if (parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u]) cout << "Articulation point: " << u << endl; } // (u, v)為回邊,且v不是u的父親 else if (v != parent[u]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); } }
不過有一個問題:可能會重復輸出一個割點。例如一個圖裏有(1, 2)、(1, 3)、(1, 4)和(1, 5)四條邊(取1為根節點),發現(1, 3)時就已經輸出了1,但發現(1, 4)和(1, 5)時就又輸出了兩遍。所以需要使用一個數組ap[]來記錄割點。
還有一個可以優化的地方:我們使用vis[]來記錄一個點是否訪問過。但是我們想一下,不是只有訪問過的點才會分配dfn嗎?當然,沒有訪問過的頂點,dfn[]裏也有值,但這裏dfn[]是全局的,因此它的每個元素最初都是0。因此完全可以取消vis[]數組並把!vis[v]改成!dfn[v]。
最後一個點:下面的代碼:
if (parent[u] == -1 && children >= 2) cout << "Articulation point: " << u << endl; else if (parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u]) cout << "Articulation point: " << u << endl;
可以合起來寫成:
if (parent[u] == -1 && children >= 2 || parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u]) cout << "Articulation point: " << u << endl;
當然,還需要加上對ap[]的檢查。
對Tarjan算法的詳細理解
1.
Todo
對算法的詳細理解
首先,“根節點有n棵子樹”這句話,是說這n棵子樹是獨立的,沒有根節點不能互相到達。因此n不一定等於與根節點相鄰的頂點數。因此加入了vis[v]為false的條件,因為如果(u, v1)和(u, v2)在一棵子樹裏,對v1進行DFS,一定能去到v2,vis[v2]就會為true,此時就不會children++了。
對於邊(u, v),如果low[v]>=dfn[u],即v即其子樹能夠(通過非父子邊)回溯到的最早的點,最早也只能是u,要到u前面就需要u的回邊或u的父子邊。也就是說這時如果把u去掉,u的回邊和父子邊都會消失,那麽v最早能夠回溯到的最早的點,已經到了u後面,無法到達u前面的頂點了,此時u就是割點。
割點(Tarjan算法)【轉載】