UVa 1642 - Magical GCD(數論)
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https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4517
題意:
輸入一個n(n≤100000)個元素的正整數序列,求一個連續子序列,使得該序列中所有元素的最大公約數與序列長度的乘積最大。
例如,5個元素的序列30, 60, 20, 20, 20的最優解為{60, 20, 20, 20},乘積為gcd(60,20,20,20)*4=80。
分析:
從左到右枚舉序列的右邊界j,然後快速求出左邊界i≤j,使得MGCD(i,j)最大。
其中MGCD(i,j)定義為gcd(a[i],a[i+1],...,a[j])*(j-i+1)。
考慮序列5, 8, 6, 2, 6, 8,當j=5時需要比較i=1, 2, 3, 4, 5時的MGCD(i,j),如下表所示:
i=1,gcd表達式=gcd(5,8,6,2,6),gcd值=1,序列長度=5。
i=2,gcd表達式=gcd(8,6,2,6),gcd值=2,序列長度=4。
i=3,gcd表達式=gcd(6,2,6),gcd值=2,序列長度=3。
i=4,gcd表達式=gcd(2,6),gcd值=2,序列長度=2。
i=5,gcd表達式=gcd(6),gcd值=6,序列長度=1。
從下往上看,gcd表達式裏每次多一個元素,有時gcd不變,有時會變小,而且每次變小時一定是變成了它的某個約數。
換句話說,不同的gcd值最多只有logj種!當gcd值相同時,序列長度越大越好,所以可以把表簡化一下:
gcd值=1,i=1。
gcd值=2,i=2。
gcd值=6,i=5。
因為表裏只有logj個元素,所以可以依次比較每一個i對應的MGCD(i,j),時間復雜度為O(logj)。
下面考慮j從5變成6時,這個表會發生怎樣的變化。
首先,上述所有gcd值都要再和a6=8取gcd,然後要加入i=6的項目,gcd值為8。
由於相同的gcd值只需要保留i的最小值,所以i=5被刪除,最終得到如下表所示結果。
gcd值=1,i=1。
gcd值=2,i=2。
gcd值=8,i=6。
總時間復雜度為O(nlogn)。
代碼:
1 #include <cstdio> 2 #include <vector> 3 using namespace std; 4 5 typedef long long int LLI; 6 struct Item { 7 LLI g; 8 int p; 9 }; 10 11 LLI gcd(LLI a, LLI b) { 12 return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); 13 } 14 15 int main() { 16 int T, n; 17 LLI v, ans; 18 scanf("%d", &T); 19 while(T--) { 20 ans = 0; 21 vector<Item> vec; 22 scanf("%d", &n); 23 for(int t = 0; t < n; t++) { 24 scanf("%lld", &v); 25 for(int i = 0; i < vec.size(); i++) vec[i].g = gcd(vec[i].g, v); 26 vec.push_back((Item){v,t}); 27 vector<Item> nvec; 28 for(int i = 0; i < vec.size(); i++) { 29 if(i != 0 && vec[i].g == vec[i-1].g) continue; 30 ans = max(ans, vec[i].g * (t-vec[i].p+1)); 31 nvec.push_back(vec[i]); 32 } 33 vec = nvec; 34 } 35 printf("%lld\n", ans); 36 } 37 return 0; 38 }
UVa 1642 - Magical GCD(數論)