Question

Suppose an array sorted in ascending order is rotated at some pivot unknown to you beforehand.

(i.e., [0,1,2,4,5,6,7] might become [4,5,6,7,0,1,2]).

Find the minimum element.

Answer

借用以下網上的翻譯：

　　把一個數組最開始的若幹個元素搬到數組的末尾，我們稱之為數組的旋轉。 輸入一個非減排序的數組的一個旋轉，輸出旋轉數組的最小元素。 例如數組{3,4,5,1,2}為{1,2,3,4,5}的一個旋轉，該數組的最小值為1。 NOTE：給出的所有元素都大於0，若數組大小為0，請返回0。

　　下面我們來解題：

　　最初可以通過畫圖理解，我想或許我們可以畫著以下的圖（為了方便，離散點畫成連續的）：

　　當然這個草圖也真是草圖，很粗糙，哈哈，而且不能解釋所有情況，它只能解決嚴格遞增。不過，這應該能解決大部分情況，至於其它小部分的情況我們等下再考慮。

主要思路

　　我們頭腦第一個蹦出來的想法或許就是遍歷一次取最小值就好，這很簡單，也很容易實現，但這顯然不是我們想要的，時間復雜度為O（n)。

　　我們想另外一種方法。非減？有序？有沒有覺得有點像二分查找，只不過它被分成兩截了，不過這並不能難倒我們，我們不妨試著用這思路解決。

　　相對於二分查找，我們沒有所要查找的目標，數組也不是完全有序。不過，我們想想如何模仿這種過程，二分查找是取中間值來跟目標值比較進而縮小範圍的，而我們這題如何縮小範圍呢，取什麽比較呢，如果取中間值，又和誰比較呢。靠直覺，我們取最初點（設為A）、最後一個點（設為C），與中間點（設為B）比較，因為這三個點最具代表性，對於A與C來說，很顯然A>=C，我們再分析B，B可能在左半邊直線上，也有可能在右半邊直線；如果在左半邊直線，這時候B>=A>=C，這時候可以斷定最小值在B-C之間，因為B-C不是連續遞增的；如果在右半邊直線，這時候A>=C>=B，可以斷定最小值在A-B之間，因為A-B之間不是連續遞增的，肯定在某個地方有個“坑”。總結一下，如果B>C，就繼續在B-C查找，如果A>B，則在A-C查找。

　　我們還需要個終止條件，就是讓這個查找終止下來。我們通過上面的算法不斷縮小搜索範圍，最終肯定縮小到兩個元素，因為如果存在三個元素以上，中間值是取除邊界兩個點（A，C)外的其中一個點，這樣下次搜索範圍能繼續縮小，直到兩個點。最後我們需要得到最小值，而兩個元素必然存在著最小值，但哪個是最小值呢，為了避免麻煩，我們可以比較一次得出最小值。

　（括號可以不看，單純說下我最初考慮兩個值種取最小值的過程，A與C之間的範圍逐漸縮小，逐漸逼近最小值，最後剩下的兩個點的分布有兩種可能，一種是分別在一條直線上，另一種可能是都在右半條直線上，然後，我們細想這個逼近的過程是可以排除第二種可能的，因為點A是不會隨著搜索範圍的減少而到達下面那條直線的。因此，只會分別在一條直線上，從圖上來看兩個點恰好是一上一下，這樣我們取下面那點，就是那個數組下標偏大的那個點即可，不過這會在我們沒有討論過的一些特例裏失效，比如旋轉數組為[1,2]，因為這不符合我們上面討論的模型，因為[1,2]全部旋轉了，回到最初的位置，元素位置並沒有變化，因此我們采用比較兩個元素的方法得到最小值比較好）

　　所以我們能像二分查找那樣寫出大致以下的代碼：

    int findMinVal(int min, int max, const vector<int> &rotateArray) {
        // 取三個點的值
        int minVal = rotateArray[min];             //最左邊的點的值
        int maxVal = rotateArray[max];             //最右邊的點的值
        int midVal = rotateArray[(min + max) / 2]; //中間的點的值

        // 終止條件
　　　　　　if ((max - min) <= 1)
　　　　　　　　return minVal > maxVal ? maxVal : minVal;

        // 根據三個點的值縮小搜索範圍
        if (midVal > maxVal)
            return findMinVal((min + max) / 2, max, rotateArray);
        else if (minVal > midVal)
            return findMinVal(min, (min + max) / 2, rotateArray);

        // 先無視這個return先，等等再討論
        return minVal;
    }

考慮特殊情況

　　如果我們放上Leetcode提交，這肯定是過不了的。如果你是個謹慎的人，一定會想到有各種特殊情況，特別是三個點的值之間存在相等關系的時候。我們下面就來考慮這些情況。

　　首先是如果midVal > maxVal或者minVal > midVal，那麽在所有情況下都是能正確的縮小搜索範圍的，這就不討論了。
　　所以我們剩下要討論的情況是midVal <= maxVal 且 minVal <= midVal，組合起來就是minVal <= midVal <= maxVal。我們分四種情況考慮 。

　　①minVal < midVal < maxVal，這種情況存在於像[1,2,3]完全旋轉後和最初數組一樣的數組。這種很明顯取minVal即可。

②minVal < midVal = maxVal，這種和①一樣，例如數組為[1,2,2]，取minVal即可。

③minVal = midVal < maxVal, 同①，例如[1,1,2]，取minVal即可。

④minVal = midVal = maxVal, 這種情況有些特殊，不能縮小一半的範圍，也不能得出最小值，例如[1,1,0,1]或[1,1,0,1,1,1,1]，所以只能一步一步縮小，即將索引min+1,max-1。

　　①-③可以合並。最終代碼如下：

    int findMin(vector<int>& nums) {
         if (nums.empty())
            return 0;
        return findMinVal(0, nums.size() - 1, nums);
    }

    int findMinVal(int min, int max, const vector<int> &rotateArray) {
 
        int minVal = rotateArray[min];
        int maxVal = rotateArray[max];
        int midVal = rotateArray[(min + max) / 2];
        if ((max - min) <= 1)
            return minVal > maxVal ? maxVal : minVal;
        if (midVal > maxVal)
            return findMinVal((min + max) / 2, max, rotateArray);
        else if (minVal > midVal)
            return findMinVal(min, (min + max) / 2, rotateArray);
        else if (minVal == midVal && midVal == maxVal)
            return findMinVal(min+1, max-1, rotateArray);
        return minVal;
    }

　　由於上面的討論缺乏嚴格完整的數學證明過程，我不敢保證能考慮到所有情況，如果有漏了某些情況，請告訴我= =，哈哈。不過是能通過leetcode和牛客網的檢測的。

Leetcode Week4 Find Minimum in Rotated Sorted Array II