數組（數學）

【問題描述】

fabdec 有?個長度為 n 的數組 \(a[]\)(下標 1-n), 初始時都是 0。 fabdec 隨機了?個 1 到 n 的隨機數 x，並且把 \(a[x]++\)。
fabdec 重復了 m 次這樣的操作，然後數了?下數組??共有 k 個位置 為奇數。 fabdec 現在想問執? m 次操作，總共能?成多少種不同的數組使得恰 好有 k 個位置是奇數？
（兩個數組不同當且僅當兩個數組存在某個位置數組 的值不相同）
因為這個數字會很?，所以只需輸出這個答案除以 109 + 7 的余數。

【輸入格式】

??三個整數，n,m,k。

【輸出格式】

輸出包含?個整數，表?答案。

【樣例輸入】

2 3 1

【樣例輸出】

4

【數據規模及約定】

對於前 20% 的數據，1 ≤ n,m ≤ 4。
對於前 50% 的數據，1 ≤ n,m ≤ 2000。
對於前 100% 的數據，1 ≤ n,m ≤ 105, 0 ≤ k ≤ n。

看到這個題，我們化簡題意可得：
m分成n個數，要求這n個數中正好有k個奇數，問合法的排列有多少個。（也可以說成n個數的和為m）

我們考慮組合數的做法：
因為要求是k個奇數，所以我們要從n個數裏面選取k個數當作奇數，這一步是\(C_n^k\)的。
我們設這n個數分別為\(a_1,a_2,...,a_n\)，那麽我們知道\[\sum_{i=1}^na_i=m\]
但是數字中有奇數有偶數不方便處理，所以我們考慮把所有數字都換成偶數，那麽在等式的左右兩邊同時減去k，我們就可以認為是\(m-k\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
// by zrt
using namespace std;

typedef long long LL;

LL n,m,k;
const LL mod=1e9+7;
LL pow(LL a,LL b,LL p){
    LL ret=1%p;
    while(b){
        if(b&1) ret=ret*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ret;
}
LL fac(LL n){
    LL ret = 1%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) ret=ret*i%mod;
    return ret;
}
LL invfac(LL n){
    return pow(fac(n),mod-2,mod);
}
LL C(LL n,LL m){
    if(n<m)return 0;
    return fac(n)*invfac(m)%mod*invfac(n-m)%mod;
}
int main(){
    freopen("array.in","r",stdin);
    freopen("array.out","w",stdout);
    cin>>n>>m>>k;
    if(k>=m) cout<<0<<endl;
    else if((m-k)&1) cout<<0<<endl;
    else cout<< C(n,k)*C((m-k)/2+n-1,n-1)%mod<<endl;
    return 0;
}
 

數組（組合數學）