單調隊列以及單調隊列優化DP
單調隊列定義：
其實單調隊列就是一種隊列內的元素有單調性的隊列，因為其單調性所以經常會被用來維護區間最值或者降低DP的維數已達到降維來減少空間及時間的目的。
單調隊列的一般應用：
1.維護區間最值
2.優化DP
例題引入：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1440
一個含有n項的數列(n<=2000000)，求出每一項前的m個數到它這個區間內的最小值。若前面的數不足m項則從第1個數開始，若前面沒有數則輸出0。
例題解答：
首先看到題目可以很快想到O（NM）,對於2*10^6這樣的數據無疑要TLE的；
接下來考慮用單調隊列，因為每一個答案只與當前下標的前m個有關，所以可以用單調隊列維護前m的個最小值，
考慮如何實現該維護的過程？？
顯然當前下標X的m個以前的元素（即下標小於X-M+1的元素）肯定對答案沒有貢獻，所以可以將其從單調隊列中刪除。
對於兩個元素A，B，下標分別為a,b，如果有A>=B&&a<b那麽B留在隊列裏肯定優於A，因此可以將A刪除。
維護隊首：如果隊首已經是當前元素的m個之前，將head++，彈出隊首元素
維護隊尾：比較q[tail]與當前元素的大小，若當前元素更優tail++，彈出隊尾元素，直到可以滿足隊列單調性後加入當前元素。
考慮單調隊列的時間復雜度：由於每一個元素只會進隊和出隊一次，所以為O（N）。
一般建議用數組模擬單調隊列進行操作，而不用系統自帶的容器，因為系統自帶容器不易調試且可能有爆空間的危險。
代碼實現：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define INF 0x3f3f3f3f #define ll long long #define maxn 2000009 #define maxm inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();} while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-‘0‘);ch=getchar();} return x*f; } int n,m,k,tot,head,tail; int a[maxn],q[maxn]; int main() { // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); head=1,tail=0;//起始位置為1 因為插入是q[++tail]所以要初始化為0 for(int i=1;i<=n;i++)//每次隊首的元素就是當前的答案 { printf("%d\n",a[q[head]]); while(i-q[head]+1>m&&head<=tail)//維護隊首 head++; while(a[i]<a[q[tail]]&&head<=tail)//維護隊尾 tail--; q[++tail]=i; } // fclose(stdin); // fclose(stdout); return 0; }
習題報告：
滑動窗口：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1886
解題思路: 此題與例題相同，只是所要求的是最大值和最小值，只需要做兩遍單調隊列即可
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define ll long long #define maxn 1000009 #define maxm inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-‘0‘);ch=getchar();} return x*f; } int q[maxn],a[maxn]; int n,m,k,ans,tot,head,tail; void Ask_MIN() { head=1,tail=0; for(int i=1;i<=n;i++) { while(head<=tail&&i-q[head]+1>m) head++; while(head<=tail&&a[q[tail]]>=a[i]) tail--; q[++tail]=i; if(i>=m) printf("%d ",a[q[head]]); } puts(""); } void Ask_MAX() { head=1,tail=0; for(int i=1;i<=n;i++) { while(head<=tail&&i-q[head]+1>m) head++; while(head<=tail&&a[q[tail]]<=a[i]) tail--; q[++tail]=i; if(i>=m) printf("%d ",a[q[head]]); } puts(""); } int main() { // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); Ask_MIN(); Ask_MAX(); fclose(stdin); fclose(stdout); return 0; }View Code
擠奶牛：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3088
解題思路：此題題目需要維護左和右分別D區間內的最大值，因此可以正著和倒著分別做一次單調隊列，然後打標記即可。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define ll long long #define maxn 50009 #define maxm inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-‘0‘);ch=getchar();} return x*f; } struct cow { int h,x; }p[maxn]; int q[maxn]; bool fear[maxn]; int n,m,k,ans,tot,head,tail; bool comp(cow a,cow b) { return a.x<b.x; } int main() { // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) p[i].x=read(),p[i].h=read(); sort(p+1,p+1+n,comp); head=1,tail=0; for(int i=1;i<=n;i++) { while(head<=tail&&p[i].x-p[q[head]].x>m) head++; while(head<=tail&&p[i].h>=p[q[tail]].h) tail--; q[++tail]=i; if(p[q[head]].h>=2*p[i].h) fear[i]=1; } head=1,tail=0; for(int i=n;i>=1;i--) { while(head<=tail&&p[q[head]].x-p[i].x>m) head++; while(head<=tail&&p[q[tail]].h<=p[i].h) tail--; q[++tail]=i; if(p[q[head]].h>=p[i].h*2&&fear[i]) ans++; } printf("%d\n",ans); fclose(stdin); fclose(stdout); return 0; }View Code
單調隊列優化DP：
切蛋糕：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1714
解題思路：同最大連續和，需要求出的是一個最大的長度為K的區間和。要快速知道一個區間的和可以用前綴和相減的形式來得到，那麽此題可以維護前綴和的單調性，保持
單調隊列以及單調隊列優化DP