[ python ] 遞歸函數
遞歸函數
描述：
如果一個函數在內部調用自身本身，這個函數就是遞歸函數
遞歸函數特性：
（1）必須有一個明確的結束條件
（2）每次進入更深一層遞歸時，問題規模相比上次遞歸都應有所減少
（3）相鄰兩次重復之間有緊密的聯系，前一次要為後一次做準備
（4）遞歸效率不高，遞歸層次過多會導致溢出
首先，我們可以從字面上來理解遞歸函數
遞：傳遞出去的意思
歸：回來的意思
遞歸函數就是一個有去有回的過程，以下一個簡單的例子來解釋遞歸函數：
實例：
計算一個10以下（包括10）整數的加法運算:
（1）初級寫法：
n = 0
for i in range(11):
n += i
print(n)
（2）中級寫法：
使用 reduce 高階函數進行累計運算
from functools import reduce print(reduce(lambda x, y: x+y, range(11)))
（3）遞歸函數的寫法：
def add(n):
if n == 1:
return n
else:
return n + add(n -1)
print(add(10))
這三種方法，顯然第二種是最簡單的，但是這裏是為了研究遞歸函數的用法，要了解遞歸函數的工作流程，就需要分解遞歸函數。
這裏只是為了說明問題，調用 add(5) ：
def add(n): # n = 5
if n == 1:
return n
else:
return n + add(n -1) # 5 + add(5 -1)
def add(n): # add(4)
if n == 1:
return n
else:
return n + add(n -1) # 4 + add(4 -1)
def add(n): # add(3)
if n == 1:
return n
else:
return n + add(n -1) # 3 + add(3 -1)
def add(n): # add(2)
if n == 1:
return n
else:
return n + add(n -1) # 2 + add(2 -1)
def add(n): # add(1)
if n == 1: # n = 1
return n # return 1
else:
return n + add(n -1)
以上是我們通過代碼執行流程分解出來的過程信息。
每當函數內部調用自身的時候，外部函數掛起，執行內部函數，當內部函數執行完畢，然後在執行外部函數；
用簡單的圖形來表示，如下：
===> add(5) ===> 5 + add(4) ===> 5 + (4 + add(3)) ===> 5 + (4 + (3 + add(2))) ===> 5 + (4 + (3 + (2 + add(1)))) ===> 5 + (4 + (3 + (2 + 1))) ===> 5 + (4 + (3 + 3)) ===> 5 + (4 + 6) ===> 5 + 10 ===> 15
遞歸函數的優點是定義簡單，邏輯清晰。理論上，所有的遞歸函數都可以寫成循環的方式，但循環的邏輯不如遞歸清晰。
實例：
使用遞歸函數實現一個三級菜單的效果
menu = { ‘北京‘: { ‘海澱‘: { ‘五道口‘: { ‘soho‘: {}, ‘網易‘: {}, ‘google‘: {} }, ‘中關村‘: { ‘愛奇藝‘: {}, ‘汽車之家‘: {}, ‘youku‘: {}, }, ‘上地‘: { ‘百度‘: {}, }, }, ‘昌平‘: { ‘沙河‘: { ‘北航‘: {}, }, ‘天通苑‘: {}, ‘回龍觀‘: {}, }, ‘朝陽‘: {}, ‘東城‘: {}, }, ‘上海‘: { ‘閔行‘: { "人民廣場": { ‘炸雞店‘: {} } }, ‘閘北‘: { ‘火車戰‘: { ‘攜程‘: {} } }, ‘浦東‘: {}, }, ‘山東‘: {}, }三級菜單
提示：在編寫遞歸函數的時候要牢記以下三點：
（1）必須有一個明確的結束條件
（2）當數據按照一定規律執行的時候，才能考慮遞歸實現
（3）只有調用自身的函數才是遞歸函數
def treeML(dic): while True: for i in dic: print(i) key = input(‘>>>‘).strip() if key == ‘q‘ or key == ‘b‘: return key elif key in dic: res = treeML(dic[key]) if res == ‘q‘: return ‘q‘ treeML(menu)遞歸函數實現三級菜單
二分查找算法與遞歸函數
二分查找算法：
簡單來講，就是一半一半的找。
二份查找實例：
有這樣一個數列：
1，2，3，4，5
當我們想要查找數字：4
原始的辦法：
從數列中一個一個遍歷，直到找到 4 為止，查找了 4 次。
二分查找算法：
首先切一半得到：3，因為 3< 4 我們獲取右半邊的數列 4, 5
然後我們在切一半得到：4，4=4，在二分算法中，我們一共就找了 2 次就得到結果。
當我們想的多了，總結出更加便捷的方式，計算機才能更加高效的工作；
現在通過遞歸函數來實現，二分查找算法：
數列：
l = [2,3,5,10,15,16,18,22,26,30,32,35,41,42,43,55,56,66,67,69,72,76,82,83,88]
查找序列中是否有數字：83
l = [2,3,5,10,15,16,18,22,26,30,32,35,41,42,43,55,56,66,67,69,72,76,82,83,88]
基礎實現：
def find(l, aim):
mid_index = len(l) // 2 # 這裏需要取整數不能是小數
if l[mid_index] > aim: # 當取的值大於要找的值，取左邊
find(l[:mid_index], aim) # 通過切片取list左邊的值
elif l[mid_index] < aim: # 當取的值大於要找的值，取右邊
find(l[mid_index+1:], aim) # 通過切片取list右邊的值
else:
print(mid_index, l[mid_index]) # 數字比較只有三種情況，大於、小於、等於
find(l, 82)
上面的實例，雖然找到序列中含有 82 但是 索引位置是有問題的。修改如下：
l = [2,3,5,10,15,16,18,22,26,30,32,35,41,42,43,55,56,66,67,69,72,76,82,83,88]
def find(l, aim, start=None, end=None):
start = start if start else 0
end = len(l) -1 if end is None else end
mid_index = (end - start) // 2 + start
if start > end:
return None
if l[mid_index] > aim:
return find(l, aim, start, mid_index-1)
elif l[mid_index] < aim:
return find(l, aim, mid_index+1, end)
elif l[mid_index] == aim:
return mid_index, l[mid_index]
res = find(l, 82)
print(res)
# 執行結果：
# (22, 82)
以上遞歸函數，比較疑惑的地方：
end = len(l)-1 if end is None else end
這裏為什麽：len(l)-1
分析結果如下：
提示：如果要對遞歸函數進行分析，需要將代碼執行流程分解開，查看就更加明顯了。
l = [2,3,5]
def find(l, aim, start=None, end=None):
start = start if start else 0 # start = 0
end = len(l) if end is None else end # end = 3
mid_index = (end - start) // 2 + start # mid_index = (3-0) // 2 + 0 =1
if start > end:
return None
if l[mid_index] > aim:
return find(l, aim, start, mid_index-1)
elif l[mid_index] < aim: # 3 < 100
return find(l, aim, mid_index+1, end) # find(l, 6, 2, 3)
elif l[mid_index] == aim:
return mid_index, l[mid_index]
--------------------------------------------------------------------------------------------
通過第一步我們獲取到：
find(l, 6, start=2, end=3)
l最大的索引為：2
--------------------------------------------------------------------------------------------
def find(l, aim, start=None, end=None): # find(l, 6, 2, 3)
start = start if start else 0 # start = 2
end = len(l) if end is None else end # end = 3
mid_index = (end - start) // 2 + start # mid_index = (3-2) // 2 + 2 =2
if start > end:
return None
if l[mid_index] > aim:
return find(l, aim, start, mid_index-1)
elif l[mid_index] < aim: # 5 < 6
return find(l, aim, mid_index+1, end) # find(l, 6, 3, 3)
elif l[mid_index] == aim:
return mid_index, l[mid_index]
--------------------------------------------------------------------------------------------
通過第二步我們獲取到：
find(l, 6, start=3, end=3)
l最大的索引為：2
--------------------------------------------------------------------------------------------
def find(l, aim, start=None, end=None): # find(l, 6, 3, 3)
start = start if start else 0 # start = 3
end = len(l)-1 if end is None else end # end = 3
mid_index = (end - start) // 2 + start # mid_index = (3-3) // 2 + 3 = 3
if start > end:
return None
if l[mid_index] > aim: # l 最大的索引為：2 這裏：l[3] 報錯啦，因此 end = len(l)-1 if end is None else end
return find(l, aim, start, mid_index-1)
elif l[mid_index] < aim:
return find(l, aim, mid_index+1, end) # find(l, 6, 3, 3)
elif l[mid_index] == aim:
return mid_index, l[mid_index]
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