p17. 2.4.3 最大子序列和的問題的解

題目：給定整數A_1,A₂,......,A_N,求∑_k=i~jA_k的最大值（如果所有整數都為負數，則最大子序列和為0）

書中給出了四種不同的算法，時間復雜度依次降低，下面我簡單描述一下這四種算法

第一種：窮舉法

求出所有子序列和，比較得出最大的

最簡單想到的代碼，效率十分低下，原因是沒有利用數列的連貫性，對數列元素反復檢索造成浪費

三層嵌套循環，時間復雜度

T(N)=O(N³)

int 
Maxsubsum(const int A[],int N)
{
    int ThisSum,Maxsum,i,j,k;
    
    Maxsum=0
 
;                     
    for(i=0;i<N;i++)　　　　　　　　　　　　　　//確定各個子序列的首項
        for(j=i;j<N;j++)　　　　　　　　　　　 //確定每個序列的元素個數
        {
            ThisSum=0;
            for(k=i;k<=j;k++)              /*開始按照確定的元素個數選出數列並計算子列和，較大者覆蓋Maxsum，較小者在ThisSum中被丟棄*/
                ThisSum += A[k];

            if(ThisSum>Maxsum)
                Maxsum
 
=ThisSum;
        }

    return Maxsum;
}

第二種：改良後的窮舉法

顧名思義，這種方法對方法一進行了改良.

當第選定了子序列的首項後，無需對子序列長度進行再次分組，直接順序列出所有該首項下的子數列即可，減去了一次循環。

實際上換湯不換藥

時間復雜度依舊為冪函數級

T(N)=O(N²)

int 
Maxsubsum(const int A[],int N)
{
    int ThisSum,Maxsum,i,j,k;
    
    Maxsum=0;                     
    for(i=0;i<N;i++)//確定各個子序列的首項
 

    {
        ThisSum=0;
        for(k=i;k<=j;k++)/*開始按照確定的元素個數選出數列並計算子列和，較大者覆蓋Maxsum，較小者在ThisSum中被丟棄*/
            {
                ThisSum += A[k];

                if(ThisSum>Maxsum)
                Maxsum=ThisSum;
            }
    }

    return Maxsum;
}

第三種：分治法

這是我們今天著重要探討的第一種算法。

先上代碼。

 1 #include "stdio.h"
 2 int
 3 MaxSubSum(const int A[],int left,int right)//left,right分別為數列數組第一個元素和最後一個元素的下標
 4 {
 5     int Maxleftsum,Maxrightsum;
 6     int Maxleftbordersum,Maxrightbordersum;
 7     int leftbordersum,rightbordersum;
 8     int Center,i;
 9 
10     if(left==right)    /*base case*/
11         if(A[left]>0)
12             return A[left];
13         else
14             return 0;
15 
16 
17     Center=(left+right)/2;
18     Maxleftsum=MaxSubSum(A,left,Center);
19     Maxrightsum=MaxSubSum(A,Center+1,right);
20 
21     Maxleftbordersum=0;leftbordersum=0;
22     for(i=Center;i>=left;i--)
23     {
24         leftbordersum +=A[i]
25         if(leftbordersum>Maxleftbordersum)
26             Maxleftbordersum=leftbordersum;
27     }
28 
29     Maxrightbordersum=0;rightbordersum=0;
30     for(i=Center+1;i<=right;i++)
31     {
32         rightbordersum +=A[i]
33         if(rightbordersum>Maxrightbordersum)
34             Maxrightbordersum=rightbordersum;
35     }
36 
37     return Max(Maxleftbordersum,Maxrightbordersum,Maxrightbordersum+Maxleftbordersum)
38 
39 }

看起來可能有些復雜哈，我第一次看也是半天看不懂，沒有這方面的基礎。

我們先來看一個簡單的問題來理解啥叫分治。

0.分治永遠大於順序？關於最大子序列和問題的思考