有限元方法簡單的二維算例（三角形剖分）

算例描述

我們對下述橢圓邊值問題 \label{eq1}

{\begin{aligned} - Δ u = f \\ u |_{\partial Ω} = 0 \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & -\Delta u = f\\ & u|_{\partial \Omega} = 0 & \end{aligned} \right.$
其中，

Ω = (0, 1)^{2}

$\Omega = (0,1)^2$ 且

f = 2 π^{2} sin π x sin π y

$f=2\pi^2\text{sin}\pi x\text{sin}\pi y$ 。考慮其變分問題，對其變分問題有限元離散並求解，並驗證其為一階收斂。
注：問題的真解為

u (x) = sin π x sin π y

$u(x) = \text{sin}\pi x\text{sin}\pi y$ 。

變分問題

$\forall v \in H_0^1$ ，乘([eq1])式兩邊，使用格林公式，利用邊界條件，易得：\label{eq2}

\int_{Ω} \nabla u \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x

$\int _\Omega \nabla u \nabla v dx = \int _\Omega fv dx$
其中

f

$f$ 為方程中的右端項。令\label{eq3}

\begin{aligned} a (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \nabla v d x \\ f (v) = \int_{Ω} f v d x \end{aligned}

$\begin{aligned} &a(u,v) = \int _\Omega \nabla u \nabla v dx & \\ &f(v) = \int _\Omega fv dx & \end{aligned}$

容易證明，原問題([eq1])等價於變分問題: \label{eq4}

{\begin{aligned} 求 u \in H_{0}^{1} ，使得 \\ a (u, v) = f (v) & \forall v \in H_{0}^{1} \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u \in H_0^1 \text{，使得}\\ & a(u,v) = f(v)&\forall v \in H_0^1 \end{aligned} \right.$
事實上，在一定連續性的要求下，強解為弱解，弱解也是強解，二者等價。故求解問題([eq1])變為了求解問題([eq4])。更一般的變分問題，描述為：\label{eq5}

{\begin{aligned} 求 u \in V, s . t . \\ a (u, v) = f (v) & \forall v \in V \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u \in V ,s.t.&\\ & a(u,v) = f(v)&\forall v \in V& \end{aligned} \right.$

有限元離散

問題轉化

我們來考慮上述變分問題的有限維逼近，即構造 $V$ 的有限維子空間 $V_h \subset V$ ，考慮如下的離散問題：\label{eq6}

{\begin{aligned} 求 u_{h} \in V_{h}, s . t . \\ a (u_{h}, v_{h}) = f (v_{h}) & \forall v_{h} \in V_{h} \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u_h \in V_h ,s.t.&\\ & a(u_h,v_h) = f(v_h)&\forall v_h \in V_h& \end{aligned} \right.$

我們用問題([eq6])近似問題([eq5])，後者的解逼近前者的解。所以我們可以通過求([eq6])的解作為近似解。
設 $V_h$ 空間中的一組基為 $\{\phi_i\}_{i=1}^N$ ，若 $u_h = \Sigma u_i \phi_i$ （為了書寫方便，不加說明，求和指標都為1到N），我們需要求的是組合係數 $u_i$ ，將 $u_h = \Sigma u_i \phi_i$ 代入，並依次分別取 $v_h$ 為每個基函式，我們可以得到： \label{eq7}

Σ u_{i} a (ϕ_{i}, ϕ_{j}) = f (ϕ_{j}), j = 1, 2, . . . N .

有限元方法入門：有限元方法簡單的二維算例（三角形剖分）

有限元方法簡單的二維算例（三角形剖分）

算例描述

變分問題

有限元離散

問題轉化

有限元方法入門：有限元方法簡單的二維算例（三角形剖分）

有限元方法入門：有限元方法簡單的二維算例（矩形剖分）

有限元方法入門：有限元方法簡單的一維算例

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