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題意

有\(n\)根竹子，竹子\(i\)初始高度為\(h_i\)，每天晚上會長高\(a_i\)。

每天白天，你可以選擇\(k\)根竹子（同一根竹子在同一個白天可以多次選擇），把他們的高度減少\(p\)，若竹子當前高度\(-p\)後\(<0\)，則竹子高度變為\(0\)。

最小化\(m\)天后最高的竹子的高度。

題解

首先最小化最大的...這種問題，顯然可以用二分答案。

二分\(m\)天后最高的竹子的高度\(H\)，然後問題就變成了判定性問題：是否存在一種方案，使得\(m\)天后竹子高度都\(\le H\)。

考慮怎麼解決這個判定性問題。

如果按照題意一天一天模擬，就需要考慮把竹子高度減\(p\)

所以我們嘗試倒著模擬這一過程。

即：竹子初始高度都設為\(H\)，每根竹子每天會減少\(a_i\)的高度，然後你可以選擇\(k\)根竹子，把它們“拔高”\(p\)。問\(m\)天后竹子高度是否都\(\ge h_i\)。

此時你必須保證竹子減少\(a_i\)的高度後不會\(<0\)。

這樣就好做了。我們用一個堆維護 當前狀態下繼續減少高度而不“拔高”，第\(m\)天結束後竹子高度會\(<h_i\)的竹子 一直減少高度 多少天后的高度會\(<0\)。

（不理解這句話可以嘗試看程式碼理解）

每次取出最快\(<0\)的竹子，對它“拔高”即可。注意中間可能會出現無論怎麼“拔高”還是會\(<0\)

最後判斷堆是否為空即可，因為堆中維護的是\(m\)天后竹子高度會\(<h_i\)的竹子，所以堆空即代表所有竹子高度都\(\ge h_i\)。

時間複雜度\(O((n+mk)\log n\log mx)\)，其中\(mx\)表示\(\max\limits_{1\le i\le n} h_i+a_im\)（二分的上界）。

程式碼

Code

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
int read(){
    register int x = 0;
    register char f = 1, ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = 0;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ '0');
    return f ? x : -x;
}
int n, m, k, c[100005];
long long p, a[100005], h[100005], l = 0, r, mid, ans;
struct node{
    int day, id;  // 表示當前狀態下（二分的高度+c[id]*p）day+1天后竹子id的高度會<0
    bool operator < (const node &b) const {  // 預設大根堆，所以過載<時寫的是>
        return day > b.day;
    }
};
struct Heap{  // 用algorithm中的堆相關的演算法封裝實現。
    node h[200005];
    int sz;
    void clear(){ sz = 0; }
    bool empty(){ return !sz; }
    void push(node x){ h[++sz] = x, std :: push_heap(h + 1, h + 1 + sz); }
    node pop(){ return std :: pop_heap(h + 1, h + 1 + sz), h[sz--]; }
    node top(){ return h[1]; }
}H;
bool check(long long x){
    H.clear(), memset(c, 0, sizeof c); // c[i]表示竹子i被“拔高”了幾次
    for (register int i = 1; i <= n; ++i)
        if (x - a[i] * m < h[i]) H.push((node){x / a[i], i});  // 初始堆的狀態
    for (register int i = 1; !H.empty() && i <= m; ++i)  // i表示倒著的第幾天
        for (register int j = 1; !H.empty() && j <= k; ++j){ // 拔高k根竹子
            node u = H.pop();
            if (u.day < i) return 0;  // 無論怎麼“拔高”都不能滿足條件
            ++c[u.id];  // “拔高”
            if (x + c[u.id] * p - a[u.id] * m < h[u.id])  // 還是不滿足條件，就插入堆中
                H.push((node){(x + c[u.id] * p) / a[u.id], u.id});
        }
    return H.empty();
}
int main(){
    n = read(), m = read(), k = read(), p = read();
    for (register int i = 1; i <= n; ++i)
        h[i] = read(), a[i] = read(), r = std :: max(r, h[i] + a[i] * m);  // 二分上界
    while (l <= r) check(mid = l + r >> 1) ? ans = mid, r = mid - 1 : l = mid + 1;
    printf("%lld", ans);
}