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計蒜客 青雲的機房組網方案（莫比烏斯函式+樹上dsu）

阿新 • • 發佈：2018-11-06

題意

給定一棵 n n 個節點的樹，每個節點上有一個點權，邊權為均 1 1 ，求所有點權互質的點對路徑總和。
1

≤ n , 點權 ≤ 100000 1 \leq n,\text{點權} \leq 100000

思路

對於一個數 a

a ，能與它產生貢獻的數和 a a 沒有公共質因子，那我們可以通過篩出莫比烏斯係數，就可以用容斥的方法求出與 a a 互質的部分了，如下圖：
在這裡插入圖片描述

A , B , C A,B,C 為 a a 的三個質因子，與 a a 互質的部分就是上面的 U ∖ ( A ⋃ B ⋃ C ) U\setminus (A\bigcup B\bigcup C)
莫比烏斯係數篩法如下：

FOR(i,1,N)mo[i]=1,mark[i]=0;
FOR(i,2,N)if(!mark[i])
{
	for(int j=i;j<=N;j+=i)
	{
		mark[j]=1;
		if(j/i%i==0)mo[j]=0;
		else mo[j]=-mo[j];
	}
}

其中
μ ( x ) = {     1 if n is a square-free positive integer with an even number of prime factors − 1 if n is a square-free positive integer with an odd number of prime factors     0 if n has a squared prime factor. \mu(x){}=\begin{cases} \ \ \ 1\quad \text{if n is a square-free positive integer with an even number of prime factors}\\ -1\quad \text{if n is a square-free positive integer with an odd number of prime factors}\\ \ \ \ 0\quad \text{if n has a squared prime factor.} \end{cases}
若一個數有一個因子是某個質數平方，那這個集合是某一個質數代表集合的子集，不會有貢獻計算。即一個數表示成若干個質數的幾次冪相乘時，這個冪次只能是 1 1 。除此外，有偶數個質因子的莫比烏斯函式值是 1 1 ，奇數個為 − 1 -1 。
那我們不妨列舉 LCA \text{LCA} ，計算每一個父節點中符合條件的子節點對的貢獻，單獨對某個因子而言，兩個同時是這個因子倍數的數將產生貢獻，乘上莫比烏斯係數再累和就是所有的貢獻。
貢獻的演算法只用化開式子即可，對於因子 s s ，某一個節點 u u ，給定所有節點的 l c a lca 時，對答案的貢獻就是 m o s ∑ v Dis ( v , u ) mo_s\displaystyle\sum_v\text{Dis}(v,u) ，其中 u , v u,v 屬於 l c a lca 不同子節點的子樹。
然後我們有 m o s ∑ v ( d e p u + d e p v − 2 d e p l c a ) mo_s\displaystyle\sum_v(dep_u+dep_v-2dep_{lca})
設 s u m s sum_s 為目前全域性陣列中 s s 倍數的節點深度總和， c n t s cnt_s 為個數總和。
m o s ( s u m v + c n t s d e p u − 2 c n t s d e p l c a ) mo_s(sum_v+cnt_sdep_u-2cnt_sdep_{lca})
維護好 s u m sum 和 c n t cnt 陣列，每新增一棵子樹就計算一次貢獻即可。
把它改成 d s u dsu 複雜度就變成 O ( n log ⁡ n ) O(n\log n) 了。

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=1e5+3;
template<const int maxn,const int maxm>struct Linked_list
{
    int head[maxn],to[maxm],nxt[maxm],tot;
    Linked_list(){clear();}
    void clear(){memset(head,-1,sizeof(head));tot=0;}
    void add(int u,int v){to[++tot]=v,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot;}
    #define EOR(i,G,u) for(int i=G.head[u];~i;i=G.nxt[i])
};
Linked_list<N,N<<1>G;
Linked_list<N,N*64>fac;
int mo[N];bool mark[N];
int L[N],R[N],ori[N],ord,dep[N],fa[N],sz[N],son[N],a[N],n;
LL cnt[N],sum[N];
LL ans;
 
void init()
{
    FOR(i,1,N-3)mo[i]=1,mark[i]=0;
    FOR(i,2,N-3)if(!mark[i])
    {
        for(int j=i;j<=N-3;j+=i)
        {
            mark[j]=1;
            if(j/i%i==0)mo[j]=0;
            else mo[j]=-mo[j];
        }
    }
    FOR(i,1,N-3)if(mo[i])
        for(int j=i;j<=N-3;j+=i)
            fac.add(j,i);
    return;
}
 
void dfs(int u,int f,int d)
{
    dep[u]=d,fa[u]=f,sz[u]=1,son[u]=0;
    L[u]=++ord,ori[ord]=u;
    EOR(i,G,u)
    {
        int v=G.to[i];
        if(v==f)continue;
        dfs(v,u,d+1);
        sz[u]+=sz[v];
        if(sz[v]>sz[son[u]])son[u]=v;
    }
    R[u]=ord;
}
 
void update(int l,int r,int k)
{
    FOR(i,l,r)
    {
        int u=ori[i];
        EOR(i,fac,a[u])
        {
            int s=fac.to[i];
            cnt[s]+=k;
            sum[s]+=k*dep[u];
        }
    }
}
void calc(int l,int r,int lca)
{
    FOR(i,l,r)
    {
        int u=ori[i];
        EOR(i,fac,a[u])
        {
            int s=fac.to[i];
            ans+=mo[s]*(sum[s]+cnt[s]*dep[u]-2*dep[lca]*cnt[s]);
        }
    }
}
 
void dsu(int u,int f)
{
    EOR(i,G,u)
    {
        int v=G.to[i];
        if(v==f||v==son[u])continue;
        
            
  

           

              
              

            

            
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#include<bits/stdc++.h>

using nam 



  
 

    


    
    
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#include<cstdio>
#include<cmath& 



  
 

    


    
    
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#define rep(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<(z);(x)++)
#def 



  
 

    


    
    
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using namespace std;
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莫比烏斯反演長下面這個樣子(=?ω?=)
 

d|n，表示 



  
 

    


    
    
【HDU1695】GCD（莫比烏斯反演）

     
 重復   min   put   clas   題解   iostream   fine   har   clu   【HDU1695】GCD（莫比烏斯反演）
題面
題目大意
求\(a<=x<=b,c<=y<=d\)
且\(gcd(x,y)=k\)的無序數對的個數
其中，你可以假定\( 



  
 

    


    
    
【Luogu3455】【POI2007】ZAP-Queries（莫比烏斯反演）

     
 stream   bre   似的   string   獲得   計算   getc   ans   contain   【Luogu3455】【POI2007】ZAP-Queries（莫比烏斯反演）
題面
題目描述
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