資料結構演算法題/兩個字串的最長公共子序列
一，問題描述
給定兩個字串，求解這兩個字串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字串1：BDCABA；字串2：ABCBDAB
則這兩個字串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA
二，演算法求解
這是一個動態規劃的題目。對於可用動態規劃求解的問題，一般有兩個特徵：①最優子結構；②重疊子問題
①最優子結構
設 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是兩個序列，將 X 和 Y 的最長公共子序列記為LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。因為，我們需要找到X 和 Y中最長的
1）如果 xn=ym，即X的最後一個元素與Y的最後一個元素相同，這說明該元素一定位於公共子序列中。因此，現在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)
LCS(Xn-1，Ym-1)就是原問題的一個子問題。為什麼叫子問題？因為它的規模比原問題小。（小一個元素也是小嘛....）
為什麼是最優的子問題？因為我們要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最長公共子序列啊。。。最長的！！！換句話說，就是最優的那個。（這裡的最優就是最長的意思）
2）如果xn != ym，這下要麻煩一點，因為它產生了兩個
因為序列X 和 序列Y 的最後一個元素不相等嘛，那說明最後一個元素不可能是最長公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎麼公共嘛）。
LCS(Xn-1，Ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(Xn，Ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是 LCS（X,Y）。用數學表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}
由於條件 1) 和 2) 考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功地把原問題 轉化 成了 三個規模更小的子問題。
②重疊子問題
重疊子問題是啥？就是說原問題 轉化 成子問題後， 子問題中有相同的問題。咦？我怎麼沒有發現上面的三個子問題中有相同的啊？？？？
OK，來看看，原問題是：LCS(X,Y)。子問題有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)
初一看，這三個子問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，因為它們只重疊了一大部分。舉例：
第二個子問題：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：問題❶LCS(Xn-1，Ym-1)，為什麼？
因為，當Xn-1 和 Ym 的最後一個元素不相同時，我們又需要將LCS(Xn-1，Ym)進行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)
也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。
由於像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質，因此：用遞迴來求解就太不划算了。因為採用遞迴，它重複地求解了子問題啊。而且注意哦，所有子問題加起來的個數 可是指數級的哦。。。。
這篇文章中就演示了一個遞迴求解重疊子問題的示例。
那麼問題來了，你說用遞迴求解，有指數級個子問題，故時間複雜度是指數級。這指數級個子問題，難道用了動態規劃，就變成多項式時間了？？
呵呵噠。。。。
關鍵是採用動態規劃時，並不需要去一 一 計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規劃之後，有些子問題 是通過 “查表“ 直接得到的，而不是重新又計算一遍得到的。廢話少說：舉個例子吧！比如求Fib數列。關於Fib數列，可參考：
求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)時，又分解了一系列的小問題....
從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重疊的！！！比如，對於 fib(2)，它就一共出現了三次。如果用遞迴來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP(Dynamic Programming)動態規劃，則fib(2)只會計算一次，其他兩次則是通過”查表“直接求得。而且，更關鍵的是：查詢求得該問題的解之後，就不需要再繼續去分解該問題了。而對於遞迴，是不斷地將問題分解，直到分解為 基準問題(fib(1) 或者 fib(0))
說了這麼多，還是要寫下最長公共子序列的遞迴式才完整。借用網友的一張圖吧：）
c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最長公共子序列的長度。（是長度哦，就是一個整數嘛）。公式的具體解釋可參考《演算法導論》動態規劃章節
import javax.print.DocFlavor;
import java.util.ArrayList;
/**
* 動態規劃的方法
* 採用二維陣列flag來記錄下標i和j的走向。數字"1"表示，斜向下；數字"2"表示，水平向右；數字"3"表示，豎直向下。這樣便於以後的求解最長公共子序列
*/
public class LCS {
//求解str1 和 str2 的最長公共子序列
public int LCS(String str1, String str2, int[][] flag){
int[][] c = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1];
for(int row = 0; row <= str1.length(); row++)
c[row][0] = 0;
for(int column = 0; column <= str2.length(); column++)
c[0][column] = 0;
for(int i = 1; i <= str1.length(); i++)
for(int j = 1; j <= str2.length(); j++)
{
if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1))//兩個list最後一個元素是相同的
{
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
flag[i][j] = 1; ///斜向下標記
}
else if(c[i][j-1] > c[i-1][j])//長的序列在c[i][j-1]裡面，那麼就要c[i][j-1]，體現max
{
c[i][j] = c[i][j-1];
flag[i][j] = 2; ///向右標記
}
else{
c[i][j] = c[i-1][j];//長的序列在c[i-1][j]裡面，那麼就要c[i-1][j]，體現max
flag[i][j] = 3; ///向下標記
}
//或者直接如下
// else {
// c[i][j] = Math.max( c[i][j-1], c[i-1][j]);
// }
}
return c[str1.length()][str2.length()];
}
//下面是遞迴獲取輸出最長子序列，也需要和上面的左右保持一致（即1,2,3）
public void lcs(int i,int j,String str1,int [][]flag)
{
if(i==0||j==0)return;
if(flag[i][j]==1){
lcs(i-1,j-1,str1,flag);
System.out.print(str1.charAt(i));
}
else if (flag[i][j]==2)lcs(i,j-1,str1,flag);
else lcs(i-1,j,str1,flag);
}
public static void main(String[] args) {
String str1 = "BDCABAE";
String str2 = "ABCBDABE";
LCS lcsClass = new LCS();
int[][] flag = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1]; //標記陣列，用於標識下標的走向，構造出公共子序列
int result = lcsClass.LCS(str1, str2, flag);
System.out.println("lcslength:" + String.valueOf(result));
System.out.println("the lcs is:");
lcsClass.lcs(str1.length() - 1, str2.length() - 1, str1, flag);
}
}
