20172313 2018-2019-1 《程式設計與資料結構》第八週學習總結

教材學習內容總結

• 堆
  • 堆（heap）就是具有兩個附加屬性的一棵二叉樹。特點：①最小堆是一棵完全樹。②最小堆對每一結點，它小於或等於其左孩子和右孩子。（最大堆的結點大於或等於它的左右孩子）
  • HeapADT的UML描述。

• 最小堆結點的子樹同樣是最小堆，兩個不同的最小堆可能包含資料相同。
  
• addElement操作：將給定的元素新增到堆中的恰當位置，由堆的定義可知，這裡的元素要能夠進行比較，所以必須是Comparable型別的，如果不是，則會丟擲異常。如果一棵二叉樹是平衡的，即所有葉子都位於h或h-1層。其中h為log2^n，且n是樹中的元素數目，因為堆是一棵完全樹，所以h層的葉子都位於該樹的左邊。所以插入結點時只有兩種情況：①h層的最後一個位置。②h+1層的第一個位置。將新元素新增至堆的末尾後，保持樹是完全樹，將該元素向根的地方移動，將它與父結點對換，直到其中的元素大小關係滿足要求為止。
  • 在連結串列實現中，新增元素時首先要確定插入結點的雙親。最壞的一種情況是從右下的最後一個葉子節點一直遍歷到根，在遍歷到堆的左下結點 。該過程的時間複雜度為2logn。下一步是插入節點（簡單的賦值，這裡的時間複雜度為O(1)）。最後一步是將這棵樹進行重新排序。因為從根到結點的路徑長度為logn，所以最多需要進行logn此操作。因此使用連結串列實現時操作的複雜度為2*logn+1+logn。即O（logn）
  • 在陣列實現中，新增元素時並不需要確定新結點雙親的步驟，但是，其他兩個步驟與連結串列實現的一樣。因此，陣列實現的addElement操作的時間複雜度為1+logn或O(logn)。雖然這兩者實現的複雜度相同，但陣列實現的效率更高一些。
    
    
• removeMin操作：根據堆的定義可知，堆中的最小元素位於根結點，這時我們要把該樹儲存在最末一片葉子中的元素移到根結點處，一旦元素移動，就要對該樹進行重新排序：將該新根元素與較小的那個孩子進行比較，如果孩子更小則將它們互換。從上至下繼續這一過程，直到該元素要麼變成葉子結點，要麼比它的兩個孩子都小。
  • 在連結串列實現中，removeMin必須刪除根元素，並用最後一個結點的元素來替換它（簡單的賦值，時間複雜度為O(1)）。下面要對該樹進行重新排序，因為該樹原先是一個堆，所以只需要跟較小的一邊進行比較排序。因為從根到葉子的最大路徑長度為logn，因此該步驟的時間複雜度為O(logn)。到此時，這棵樹已經完成了，但在實際進行的過程中，為了繼續完成接下來的操作，我們還要找到新的最末結點，最壞的情況是進行叢葉子到根的遍歷，然後再從根往下到另一葉子的遍歷。因此，該步驟的時間複雜度為2logn。於是removeMin操作最後的時間複雜度為2
    logn+logn+1，即O(logn)。
  • 在陣列實現中，removeMin也像連結串列實現的那樣，只不過它不需要確定最新的最末結點。因此，陣列實現的removeMin操作的複雜度為logn+1。即O(logn)。
    
• findMin操作：findMin操作較為簡單，由堆的定義可知，直接返回根結點的元素即可。
• 堆和二叉排序樹的區別：
  • ①堆是一棵完全二叉樹，二叉排序樹不一定是完全二叉樹；
  • ②在二叉排序樹中，某結點的右孩子結點的值一定大於該結點的左孩子結點的值，在堆中卻不一定；
  • ③在二叉排序樹中，最小值結點是最左下結點，最大值結點是最右下結點。在堆中卻不一定；
• 使用堆：優先順序佇列：按照優先順序從大到小進行排序，具有相同優先順序的按照先進先出來進行排序。雖然最小堆根本就不是一個佇列，但是它卻提供了一個高效的優先順序佇列實現。

• 用連結串列實現二叉查詢樹：每個BinaryTreeNode物件要維護一個指向結點所儲存元素的引用，另外還要維護指向結點的每個孩子的引用。

教材學習中的問題和解決過程

• 問題一：在使用陣列實現最小堆時，如果要進行removeMin操作需要把根元素刪去，把“count-1”處的元素放到索引為0的地方，那麼“count-1”處的元素不是還放在原位嗎？書上並沒有對該位置進行任何操作。
• 問題一解決方案：當時看到這裡的時候，我認為是刪除元素時就不對“count-1”處的元素進行操作，因為刪除元素後count變數會自減，到時候遍歷的時候只遍歷到count的位置，這個問題也就先放到這裡了。但是當我做到pp12_8時卻發現不是這樣。當我刪除了最小元素後，在遍歷的時候依舊會把最後一個元素列印。如下圖所示
  
    我們可以很清楚的看到，5作為最後一個元素並沒有被刪除，仍然會被列印，由於ArrayHeap繼承的是ARRayBinaryTree類，我又查看了ArrayBinaryTree中的遍歷方法。

public String toString() 
    {
        ArrayUnorderedList<T> tempList = new ArrayUnorderedList<T>();
        inOrder(0, tempList);

        return tempList.toString();
    }

  使用陣列實現堆時使用中序遍歷，列印陣列中不為空的所有元素，所以在這裡我覺得書上的內容是有問題的，在ArrayHeap的removeMin()方法中應該新增吧“count-1”處的元素清空的操作。這樣問題就得以解決了。

 public T removeMin() throws EmptyCollectionException
    {
        if (isEmpty())
            throw new EmptyCollectionException("ArrayHeap");

        T minElement = tree[0];
        tree[0] = tree[count-1];
        tree[count-1] = null;(新新增的操作)
        heapifyRemove();
        count--;
        modCount--;
        
        return minElement;
    }

• 問題二：在看連結串列實現堆時，有這樣一段話“heapifyAdd方法並沒有執行雙親與孩子的完整互換。它只是把雙親元素往下平移到正確的插入點，然後把新值賦給該物質。這並沒有真正改變演算法的複雜度，即使執行完整的元素互換，其複雜度也是O(logn)。但是，它的確提高了效率，因為它減少了左堆的每一層上要執行的賦值次數。”我對於這段話不是很理解。
• 問題一解決方案：我是這樣理解的，先用temp儲存插入節點的元素，與父結點內儲存的元素進行比較，如果父結點的元素大於temp，則把父結點的元素賦給子結點。注意：此時並沒有把temp的值賦給父結點，沒有執行完整的元素互換。這時繼續進行遍歷，找到父結點的父結點，讓父結點的父結點的元素與temp進行比較，重複以上步驟，直到根結點或有一結點的元素小於temp，這時，該結點的子結點就是新插入元素的位置，即把temp賦給它。由於沒有進行完成的元素互換，效率自然也就提高了。
  

程式碼除錯中的問題和解決過程

• 問題1：對使用陣列實現堆中的removeMin操作的heapifyRemove方法不是特別理解。程式碼如下：

private void heapifyRemove()
    {
        T temp;
        int node = 0;
        int left = 1;
        int right = 2;
        int next;
        
        if ((tree[left] == null) && (tree[right] == null))
            next = count;
        else if (tree[right] == null)
            next = left;
        else if (((Comparable)tree[left]).compareTo(tree[right]) < 0)
            next = left;
        else
            next = right;
        temp = tree[node];

        while ((next < count) && 
            (((Comparable)tree[next]).compareTo(temp) < 0))
        {
            tree[node] = tree[next];
            node = next;
            left = 2 * node + 1;
            right = 2 * (node + 1);
            if ((tree[left] == null) && (tree[right] == null))
                next = count;
            else if (tree[right] == null)
                next = left;
            else if (((Comparable)tree[left]).compareTo(tree[right]) < 0)
                next = left;
            else
                next = right;
        }
        tree[node] = temp;
    }

• 問題一解決方案：我們先來一行一行的逐步分析程式碼，我們知道此方法是用來對堆進行重新排序的。首先，判斷刪除最小元素後是否只剩下一個結點，如果是，則跳過後面判斷和迴圈，將剩下的唯一元素設定為根結點。有前面的內容可知，對於每一結點，n的右孩子將位於素組的2（n+1）處，n的右孩子將位於陣列的2（n+1）處。如果對於根結點來說，它沒有右孩子或左孩子的元素小於右孩子的元素，則令next=left進入下一步的迴圈，如果它的右孩子的元素大於左孩子的元素。則令next=right進入下一步的迴圈。（注意：在判斷結束後，temp= tree[node]的作用為儲存此時根節點的元素向下遍歷進行比較，最後賦值給通過迴圈找到的結點。）當進入迴圈以後，將根結點的元素與索引為next處的元素（左孩子或右孩子）進行比較，如果next處的元素比temp小，則令node（next的父結點）處元素為next。繼續向下遍歷，把next的值賦給node，並找到node的孩子的索引，令next重新指向node的孩子。當跳出迴圈時，node結點的位置即為temp的位置，完成排序。

程式碼託管

上週考試錯題總結

• 錯題1：What type does "compareTo" return?
  A . int
  B . String
  C . boolean
  D . char
• 解析：這題錯的實在是不應該，當時做的太快了，滿腦子都想著compareTo用來比較兩個物件之間的大小，返回一個boolean型的變數，卻忘了是根據返回int值的大小來判斷的。
• 錯題2：Insertion sort is an algorithm that sorts a list of values by repetitively putting a particular value into its final, sorted, position.
  A . true
  B . false
• 解析：概念題，插入排序通過反覆地把某個元素插入到之前已排序的子列表中，實現元素的排序。
• 錯題3：A binary search tree is a binary tree with the added property that the left child is greater than the parent, which is less than or equal to the right child.
  A . True
  B . Flase
• 解析：概念題，做的時候理解錯誤，二叉查詢樹是一種含有附加屬性的二叉樹，即其左孩子小於父結點，而父結點又小於或等於右孩子。
• 錯題4：One of the uses of trees is to provide simpler implementations of other collections.
  A . True
  B . Flase
• 解析：這道題做的時候沒有理解清楚題意。樹的主要作用之意2是為其他集合提供高效的實現，而不是簡單的實現。

結對及互評

• 部落格中值得學習的或問題：
  • 排版精美，對教材的總結細緻，善於發現問題，對於問題研究得很細緻，解答也很周全。
• 程式碼中值得學習的或問題：
  • 程式碼寫的很規範，思路很清晰，繼續加油！

點評過的同學部落格和程式碼

• 本週結對學習情況
  • 20172332
  • 20172326
  • 結對學習內容
    • 第12章 優先佇列與堆

其他（感悟、思考等，可選）

  相較與上週的折磨，這周的內容上可以說是友好了許多，經歷了上週二插查詢樹的洗禮，這周的內容也只不過是新瓶裝舊酒而已，沒有什麼太過新鮮的東西，主要是把一些關鍵的程式碼給弄明白，這一過程還是花了不少時間的。由於這周的實驗也佔用了不少時間，這周的學習內容其實並沒有想象中那麼輕鬆。希望自己能在以後的生活中繼續努力，不斷進步！

學習進度條

• 計劃學習時間:20小時

• 實際學習時間:20小時

參考資料

• java實現最小堆
• 最小堆的JAVA實現
• 堆排序 最大堆 最小堆 Java實現