Address

洛谷P3352
BZOJ4574
UOJ#196
LOJ#2093

Solution

原本是一個期望 DP ，但是由於乘上了 $(\frac{n\times (n+}{}$

1 ) 2 ) q (\frac{n\times(n+1)}2)^q ，變成了計數 DP ，即求每個位置每種情況下的值之和。
資料是隨機的，假設它們互不相同。先離散化。
很容易想到一個狀態： $g$

[ i ] [ j ] g[i][j] 表示第 $i$

i 個數變成從小到大第 $j$ 個數的方案數。
那麼 $x$ 位置的答案為：
$\sum_{i=1}^ng[x][i]\times b_i$
其中 $b_i$ 為從小到大第 $i$ 個數的值。
考慮如何求 $g[i][j]$ 。如果有 $a_x=b_j$ ，那麼無論如何操作， 區間 $[le_x+1,ri_x-1]$ 之外的值永遠不會變成 $a_x$ 。
其中 $le_x$ 為 $x$ 左邊第一個比 $a_x$ 大的數的位置（不存在則為 $0$ ）
$ri_x$ 為 $x$ 右邊第一個比 $a_x$ 大的數的位置（不存在則為 $n+1$ ）
所以再定義狀態 $f[i][l][r]$ 表示第 $i$ 輪之後恰好 區間 $[l,r]$ 變成了 $a_x$ 的方案數。
這樣還是不好 (ke) 推。因為如果某次操作發生在 $[u,v]$ （ $u\le le_x<v$ ），那麼 $le_x$ 會增加或者 $ri_x$ 會減小（設分別改變至 $L$ 和 $R$ ），這樣如果操作的左端點在 $[le_x+1,L]$ 而右端點大於等於 $x$ 則修改對 $a_x$ 的分佈會特別難處理。
於是我們把狀態中的 $l$ 和 $r$ 改為 $le_x+1$ 和 $ri_x-1$ 的值，即：
$f[i][l][r]$ 表示第 $i$ 輪之後恰好區間 $[l,r]$ 小於等於 $a_x$ 的方案數。
邊界：
$f[0][le_x+1][ri_x-1]=1$
轉移（1）：操作區間不包含 $[l,r]$ ：
$f[i][l][r]+=(\frac{l\times(l-1)}2+\frac{(n-r)(n-r+1)}2+\frac{(r-l+1)(r-l+2)}2)f[i-1][l][r]$
其中 $\frac{l\times(l-1)}2+\frac{(n-r)(n-r+1)}2+\frac{(r-l+1)(r-l+2)}2$