20172301 《程式設計與資料結構》第八週學習總結

教材學習內容總結

堆

• 堆：是具有兩個附加屬性的一棵二叉樹。
  • 是一棵完全樹。
  • 最小堆對每一結點，它小於或等於其左孩子和右孩子。反之，最大堆對每一個結點大於或等於它的左右孩子。
  • ，最小堆將其最小元素儲存在該二叉樹的根處，且最小堆根結點的子樹同樣也是最小堆。
    
• addElement操作：將給定的元素新增到堆中的恰當位置，維持該堆的完全性屬性和有序屬性。
  • 如果元素不是Comparable型別的，則會丟擲異常。這是為了讓元素可比較，可以維持堆的有序屬性。

  • 而為了維護堆的完全性，就決定了堆插入結點時只有兩種情況：

    1.h層的左邊下一個位置。
    2.h+1層的第一個位置。（h層為滿）

  • 將新元素新增到堆的末尾後，考慮到有序屬性，將該元素與父結點進行比較，若小將它與父結點對換，直到大於父結點或者位於根結點處。
• removeMin操作：刪除堆的最小元素：刪除堆的最小元素並且返回。
  • 最小元素位於根結點，刪除掉根結點，為了維持樹的完全性，要找一個元素來替代它，那麼只有一個能替換根的合法元素，且它是儲存在樹中最末一片葉子上的元素。最末的葉子是h層上最右邊的葉子。
  • 考慮到有序屬性，對該堆重新排序。將新的根元素和其較小的孩子比較，如果孩子更小，那麼他們互換，直到該元素位於某個葉子中或者比他的兩個孩子都小。
• findMin操作：指向最小堆的最小元素。
  • 返回存在根處的元素。

用連結串列實現堆

• 因為要求插入元素以後能夠向上遍歷，所以堆中的結點必須儲存指向雙親的指標。繼承BinaryTreeNode類，並且新增雙親指標和對應的set方法。

• 有一個例項資料lastNode作用是跟蹤記錄堆中的最後一個葉子，也就是指向末結點的引用。
  

• addElement操作：
  • 在適當位置新增一個元素。
  • 對堆進行重排序，以保持其有序屬性。
  • 將lastNode指標重新設定為指向新的最末結點。
  • 在最壞的情況下，確定要插入結點的雙親，需要從堆的右下結點往上遍歷到根，然後往下遍歷到堆的左下結點。時間複雜度為2 * logn。插入新結點，簡單賦值，時間複雜度為O(1)。如果需要重排序，最多需要比較logn次，因為路徑最長為logn。所以addElement
    操作的複雜度為2 * logn + 1 + logn，為O(logn)。
• removeMin操作：
  • 用儲存在最末結點處的元素替換儲存在根處的元素。
  • 對堆進行重排序。
    
  • 返回原來的根元素。
  • 在最壞的情況下，替換結點，簡單賦值，時間複雜度為O(1)，然後重排序，，因為路徑最長為logn，所以還是比較logn次。確定新的最末結點，從葉子到根的遍歷，再從根到另一個葉子的遍歷。所以removeMin操作的複雜度為2 * logn + logn + 1，為O(logn)。
• findMin操作
  • 直接返回根元素，複雜度為O(1)。

用陣列實現堆

• 樹的根位於位置0處，對於每一結點n，n的左孩子將位於陣列的2n+1位置處，n的右孩子將位於陣列的2（n+1）位置處。
• addElement操作：
  • 在恰當位置處新增新結點。
  • 對堆進行重排序以維持其排序屬性。
  • 將count值遞增1。
  • 時間複雜度為 1 + log ，為 O(logn)。
• removeMin操作
  • 用儲存在最末元素處的元素替換儲存在根處的元素。
  • 對堆進行重排序。
  • 返回初始的根元素，並將count值減1。
  • 時間複雜度為 1 + log ，為 O(logn)。
• findMin操作
  • 指向索引為0，時間複雜度為O(1)。

使用堆：優先順序佇列

• 遵循兩個排序規則：
  • 具有更高優先順序的專案在先。
  • 具有相同優先順序的專案使用先進先出方法來確定順序。
• 雖然最小堆根本就不是一個佇列，但是它卻提供了一個高效的優先順序佇列實現。

使用堆：堆排序

• 原理：根據堆的有序屬性，將列表的每一個元素新增到堆中，然後一次一個的把他們從根中刪除。
• 堆排序是一種選擇排序，整體主要由構建初始堆+交換堆頂元素和末尾元素並重建堆兩部分組成。其中構建初始堆經推導複雜度為O(n)，在交換並重建堆的過程中，需交換n-1次，而重建堆的過程中，根據完全二叉樹的性質，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步遞減，近似為nlogn。所以堆排序時間複雜度一般認為就是O(nlogn)。
• 堆排序時間複雜度O(nlogn)。
• 步驟：
  • 步驟一：構造初始堆。將給定無序序列構造成一個堆（升序採用小頂堆，降序採用大頂堆)。
  • 步驟二：將堆頂元素與末尾元素進行交換，使末尾元素最大。然後繼續調整堆，再將堆頂元素與末尾元素交換，得到第二大元素。如此反覆進行交換、重建、交換。

教材學習中的問題和解決過程

• 問題1：連結串列堆和陣列堆的優缺點。
• 問題1解決方案：
  • 在之前章節的樹的實現中，我們大多數用的都是連結串列實現的。主要是因為，用陣列實現樹的時候，可能會因為沒有左右孩子而浪費了大量的空間。但是，在堆的實現中，因為考慮其向上遍歷的特殊操作，我們需要其雙親結點 。而又因為堆是一個完全樹，所以，不會存在大量浪費空間的情況 。所以，針對堆來說，陣列實現的效率更高。

  • 根據書P268 和 P270，

    因為陣列不需要確定新結點雙親的步驟，以及陣列不需要確定新的最末結點。所以，雖然他的時間複雜度和用連結串列實現時是一樣的，但是陣列實現的效率更高一些。

  • 同樣，我們不必拘泥於一種結構，一種實現方式。平常編寫程式碼時也要注意其效率，程式碼的相關優化和美觀。不要只把實現和完成任務當成標準。這是我以後也應該注意的。
• 問題2：對於課上將的堆排序，還有課上的堆排序實踐沒有熟練掌握。重點歸納記憶一下。
• 問題2解決方案：

  • 首先，要清楚堆排序的思想，堆排序是一種選擇排序 。如何將一個雜亂排序的堆重新構造成最大堆，它的主要思路就是

    從上往下，將父節點與子節點以此比較。如果父節點最大則進行下一步迴圈，如果子節點更大，則將子節點與父節點位置互換，並進行下一步迴圈。注意父節點要與兩個子節點都進行比較。

  • 我們第一步就應該明白，如何將一個無序列表構建成最大堆。

    從最後一個非葉節點開始調整。

  

  • 如圖，這裡的最後一個非葉子結點是結點4，那麼我們就從這裡進行調整。

    每次調整都是從父節點、左孩子節點、右孩子節點三者中選擇最大者跟父節點進行交換(交換之後可能造成被交換的孩子節點不滿足堆的性質，因此每次交換之後要重新對被交換的孩子節點進行調整)。

  
  • 如上圖，這裡從結點2開始做調整。左孩子為結點4，右孩子為結點5，將其與父結點做比較，發現左孩子比父結點更大。因此將它們做交換，設結點4為最大的結點，並繼續以結點4開始做下一步運算。
  • 當構建好一個堆之後，我們開始進行排序。將堆頂元素與末尾元素進行交換，使末尾元素最大。然後重新調整堆，一直到最後整個堆都不存在了，那麼陣列就是有序的。
    

程式碼除錯中的問題和解決過程

• 問題1：在實現PP12.1的時候，發現使用remove操作之後，雖然刪除了第一個進入的元素，但是又添加了一個元素。
  

如圖，發現，我插入佇列的依次是，2，10，3。然後中序遍歷就是10，2，3。這是沒有問題的，但是刪除之後，雖然2刪除掉了，但是多了一個3。

• 問題1解決方案：
  • 這個問題可能是因為我dequeue()方法，呼叫了之前父類ArrayHeap類中removeMin()方法所引起的。
  • 所以就不得不說一下我PP12.1的實現思路。實際上，佇列和優先順序佇列一定程度上是一樣的。只是CompareTo方法的判定條件不同。佇列只需要將進入堆的順序記錄下來就可以然後比較即可。那麼這裡的呼叫的removeMin()方法實際上就是刪除佇列中順序最低的，也就是第一個進來的元素。

  public T removeMin() throws EmptyCollectionException 
  {
      if (isEmpty())
          throw new EmptyCollectionException("ArrayHeap");
  
      T minElement = tree[0];
      tree[0] = tree[count-1];
      heapifyRemove();
      count--;
  modCount--;
      return minElement;
  }

  • 程式碼如上所示，可以發現，在把陣列的最後一個賦給第一個，重排序之後呢，並沒有對其進行清空操作。所以，存在會有兩個3的出現。那麼我只需要在之後新增一串

  tree[count] =null;

  就可以解決問題了。
  

程式碼託管

上週考試錯題總結

• 
• 在二叉查詢樹刪除結點時，如果他有孩子，那麼讓他的孩子代替他。應該是升級而不是降級。

結對及互評

點評過的同學部落格和程式碼

• 上週部落格互評情況
  • 20172304
  • 段志軒同學的部落格是不斷進步的，還是應該多多基於書本，務實基礎。在程式碼實現方面不要急躁，耐心除錯，肯定可以發現錯誤。
  • 20172328
  • 部落格內容豐富，並且問題裡討論了上學期研究的棧記憶體和堆記憶體之間的區別。優秀。

其他

堆是基於二叉樹的。這周看程式碼的效率並不是很高，對於程式碼的理解也不是很深入。歸結於學習積極性不高。凡事不要鑽牛角尖，過去的就過去了，一切都會好起來。不要給自己額外的壓力和負擔。
看過別的同學優秀的部落格以後發現自己不能懈怠。比如很多同學都聯絡到了上學期的堆疊記憶體時的學習內容。學習應該有體系，不能夠東拼西揍，撿西瓜丟芝麻。還是要踏實下來，戒驕戒躁。

學習進度條

參考資料

• 圖解排序演算法(三)之堆排序
• 堆排序原理及演算法實現（最大堆）
• 排序演算法（三）堆排序原理與實現（小頂堆）
• 帶你體會堆演算法