Covariance 翻譯為協方差，因此，MATLAB裡面的函式cov也就是求協方差了。至於MATLAB語言裡面的協方差函式cov的語法是什麼樣的以及怎麼用的，我們稍後再說，這裡首先介紹下協方差相關的基礎知識點。

本文內容參考自MATLAB的幫助手冊，有的時候不得不說，資料手冊才是最好的教材，不僅對於MATLAB，這裡提供的都是原滋原味的官方內容。例如我經常去了解一些MATLAB中的相關函式，命令等，都可以通過MATLAB的資料手冊；如果我想了解一些IP核以及與之相關的知識，我可以檢視Xilinx的官方資料手冊，內容應有盡有，相比而言，如果我去借一些書籍去檢視FPGA的IP核，不僅版本陳舊，而已也有可能翻譯的有問題，讓人一知半解。

廢話就說到這裡，下面正式開始介紹。

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目錄

基礎知識

協方差（Covariance）：

協方差矩陣（ covariance matrix）：

矩陣的協方差：

方差：（這是贈送的）

MATLAB中的 cov

語法格式：

C = cov(A)

C = cov(A,B) 

C = cov(___,w)

C = cov(___,nanflag)

示例

C = cov(A) 舉例（矩陣的協方差）

cov(A,B) 舉例之兩個向量之間的協方差

cov(A,B) 舉例之兩個矩陣之間的協方差

Specify Normalization Weight

Covariance Excluding NaN

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基礎知識

協方差（Covariance）：

對於兩個隨機變數向量A和B，那二者之間的協方差定義為：

其中表示向量A的均值，表示向量B的均值。

協方差矩陣（ covariance matrix）：

兩個隨機變數的協方差矩陣是每個變數之間成對協方差計算的矩陣，

矩陣的協方差：

對於矩陣A，其列各自是由觀察組成的隨機變數，協方差矩陣是每個列組合之間的成對協方差計算。 換一種說法

方差：（這是贈送的）

對於由N個標量觀測組成的隨機變數向量A，方差定義為

其中u是A的均值：

一些方差定義使用歸一化因子N而不是N-1，可以通過將w設定為1來指定。在任何一種情況下，假設均值具有通常的歸一化因子N.

（注意：w是後面要說的MATLAB裡面的協方差函式的一個引數而已，在具體的MATLAB函式裡面可以通過設定w來指定歸一化因子！）

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MATLAB中的 cov

語法格式：

下面逐個講解：

C = cov(A)

C = cov(A) returns the covariance.

C = cov(A)返回協方差。

• If A is a vector of observations, C is the scalar-valued variance.

• 如果A是一個觀測向量，那麼C是一個標量值的方差。

• If A is a matrix whose columns represent random variables and whose rows represent observations, C is the covariance matrix with the corresponding column variances along the diagonal.

• 如果A是矩陣，其列表示隨機變數，其行表示觀測值，則C是協方差矩陣，沿對角線具有相應的列方差。（協方差矩陣的協方差是列的協方差值）

• C is normalized by the number of observations-1. If there is only one observation, it is normalized by 1.

• C由觀察數-1歸一化。 如果只有一個觀察值，則將其標準化為1。

• If A is a scalar, cov(A) returns 0. If A is an empty array, cov(A)returns NaN.

• 如果A是標量，則cov（A）返回0.如果A是空陣列，則cov（A）返回NaN。

（你看看人家考慮的多周全！）

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C = cov(A,B) 

C = cov(A,B) returns the covariance between two random variables A and B.

C = cov(A,B) 返回兩個隨機變數A和B之間協方差。

• If A and B are vectors of observations with equal length, cov(A,B) is the 2-by-2 covariance matrix.

• 如果A和B是同等長度的觀測向量，那麼C是一個2*2的協方差矩陣。

• If A and B are matrices of observations, cov(A,B) treats A and B as vectors and is equivalent to cov(A(:),B(:)). A and B must have equal size.

• 如果A和B是觀察矩陣，則cov（A，B）將A和B視為向量，並且等同於cov（A（:)，B（:)）。 A和B必須具有相同的大小。

• If A and B are scalars, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of zeros. If A and B are empty arrays, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of NaN.

• 如果A和B是標量，則cov（A，B）返回2乘2的零塊。 如果A和B是空陣列，則cov（A，B）返回2乘2的NaN塊。

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C = cov(___,w)

C = cov(___,w) specifies the normalization weight for any of the previous syntaxes. When w = 0 (default), C is normalized by the number of observations-1. When w = 1, it is normalized by the number of observations.

C = cov（___，w）指定任何先前語法的歸一化權重。 當w = 0（預設值）時，C由觀測數-1歸一化。 當w = 1時，它通過觀察次數歸一化。

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C = cov(___,nanflag)

C = cov(___,nanflag) specifies a condition for omitting NaN values from the calculation for any of the previous syntaxes. For example, cov(A,'omitrows') will omit any rows of A with one or more NaN elements.

C = cov（___，nanflag）指定從任何先前語法的計算中省略NaN值的條件。 例如，cov（A，'omitrows'）將省略具有一個或多個NaN元素的A的任何行。

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示例

下面舉例說明重要的語法格式：

C = cov(A) 舉例（矩陣的協方差）

Create a 3-by-4 matrix and compute its covariance

A = [5 0 3 7; 1 -5 7 3; 4 9 8 10];
C = cov(A)

C = 4×4

    4.3333    8.8333   -3.0000    5.6667
    8.8333   50.3333    6.5000   24.1667
   -3.0000    6.5000    7.0000    1.0000
    5.6667   24.1667    1.0000   12.3333

Since the number of columns of A is 4, the result is a 4-by-4 matrix.

由於矩陣A有4列，表示有4個隨機變數，那麼協方差矩陣是4*4的。

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cov(A,B) 舉例之兩個向量之間的協方差

1. Create two vectors and compute their 2-by-2 covariance matrix.

A = [3 6 4];
B = [7 12 -9];
cov(A,B)

ans = 2×2

    2.3333    6.8333
    6.8333  120.3333

cov(A,B) 舉例之兩個矩陣之間的協方差

2. Create two matrices of the same size and compute their 2-by-2 covariance.

A = [2 0 -9; 3 4 1];
B = [5 2 6; -4 4 9];
cov(A,B)

ans = 2×2

   22.1667   -6.9333
   -6.9333   19.4667

這相當於求A(:)和B(:)的協方差，如下驗證下：

對比下cov(A,B)發現是一致的：

Specify Normalization Weight

建立一個矩陣並計算由行數歸一化的協方差。

A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6];
C = cov(A,1)

C = 3×3

   11.5556    5.1111  -10.2222
    5.1111    6.8889    5.2222
  -10.2222    5.2222   29.5556

我覺得還是有必要比較下不歸一化的情況：

>> A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6]

A =

     1     3    -7
     3     9     2
    -5     4     6

>> C = cov(A,1)

C =

   11.5556    5.1111  -10.2222
    5.1111    6.8889    5.2222
  -10.2222    5.2222   29.5556

>> C = cov(A)

C =

   17.3333    7.6667  -15.3333
    7.6667   10.3333    7.8333
  -15.3333    7.8333   44.3333

Covariance Excluding NaN

建立矩陣並計算其協方差，排除包含NaN值的任何行。

A = [1.77 -0.005 3.98; NaN -2.95 NaN; 2.54 0.19 1.01]

A = 3×3

    1.7700   -0.0050    3.9800
       NaN   -2.9500       NaN
    2.5400    0.1900    1.0100

C = cov(A,'omitrows')

C = 3×3

    0.2964    0.0751   -1.1435
    0.0751    0.0190   -0.2896
   -1.1435   -0.2896    4.4104