濾波這一概念可以結合數字訊號處理這一領域中的濾波。而在數字影象處理中濾波可以分為空間域濾波和頻率域濾波。這篇博文主要來學習下空間域濾波。

空間域濾波機理

  *空間濾波器由一個鄰域（典型的是一個較小的矩形）構成，對該鄰域所包圍的畫素按照一定的操作計算出目標畫素的值，這一過程就是空間濾波器的工作機理*

例如：
假設有一個這樣的3*3的濾波器(每個元素代表權值$w$)

$$T=\left[ \begin{matrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{matrix}\right]$$
用T對下圖進行濾波，其覆蓋的第一個方塊為紅色的方框，對應元素相乘後結果求和，然後再求平均值（除以9），得出圓圈的畫素。（這就是後邊實現的均值濾波器）

空間相關與卷積

這裡只是簡單提一下這兩個概念。

相關：濾波器位移過影象並計算每個位置乘積之後的處理
卷積：和相關相似，只是濾波器要先旋轉$180°$

線性濾波器和非線性濾波器

概念：線性濾波器是指對畫素進行線性操作；否則則稱為非線性濾波器。

你可能問，什麼是線性操作呢？線性操作簡單來說就是滿足下面式子的操作：

$$f(x+y) = f(x)+f(y)\\ f(ax) = af(x)$$
均值濾波器就是一個典型的線性濾波器。
中值濾波器是一個典型的非線性濾波器。

平滑線性濾波器

平滑線性濾波器的主要作用是模糊處理和降低噪聲。例如在提取影象的最大目標時，需要先進行模糊處理來降低噪聲。然後增強某一閾值之上的灰度，來突出”亮”的部分。

$$T_1=\left[\begin{matrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{matrix}\right] T_2=\left[\begin{matrix} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 1&2&1\end{matrix}\right]$$
以上 $T_1$為簡單的均值濾波器， $T_2$為帶權值的均值濾波器。後者更為重要些。
說了這麼多，我們來實現一個簡單的均值濾波器。

function [Image] = fliter (img, type)
%初始化濾波器模板
f = ones(3,3);
[x,y] = size(img);
Image = zeros(x,y);
%注意由於我們是3*3的濾波器，對第一個畫素img(1,1)濾波時，濾波器會有
%一部分在影象外部，所以我們要初始一個帶著一圈0的殼的影象
temp = zeros(x+2,y+2);
%把中間的部分賦值原來的數值
temp(2:x+1,2:y+1) = img;
for i=2:x+1
  for j=2:y+1
    %計算均值
    Image(i-1,j-1) = mean(mean(f.*temp(i-1:i+1,j-1:j+1))');
  end;
end;
endfunction

統計排序（非線性）濾波器

由名字可知，這是基於數理統計的一種濾波器，採用的是非線性的計算。

中值濾波器

他是將鄰域中的灰度值排序，然後取中值作為替換中心元素的灰度值。例如：3*3的中值濾波器，取排序後的第5個元素。

實現程式碼：

function [Image] = medianFliter (img)
[x,y] = size(img);
Image = zeros(x,y);
temp = zeros(x+2,y+2);
%同上面均值濾波的作用
temp(2:x+1,2:y+1) = img;
for i=1:x
  for j=1:y
    t = temp(i:i+2,j:j+2);
    %median為求中值函式，需要將t轉化為一個列向量
    Image(i,j) = median(t(:));
  end;
end;

endfunction

在原圖中增加了椒鹽噪聲，可以看到，中值濾波後椒鹽噪聲基本被去除。

銳化空間濾波器

銳化：即增強影象中的邊緣部分。邊緣部分一般為灰度激變的部分。有photoshop的可以去試一下帶的銳化功能。

準備知識

我們學習過高等數學中的積分和微分，別方，我儘量解釋的容易理解一點同時也儘量準確點（說實話，讓我正確的解釋積分和微分我估計也解釋不清楚）。

積分我們可以簡單的理解為求和

一次函式積分不就是就其與$x$軸所圍面積的和嗎？雖然有正負。那我們的均值濾波器可以思考下其實也是積分的原理，是離散的積分，計算出他們的乘積和，只不過最後又平均了一下。

微分我們可以簡單的理解為求導

一階微分（一階求導）：我們高中就知道函式的一階導數顯示了函式斜率。斜率決定了函式變化的快慢。
二階微分（二階求（偏）導）：二階求導就是在一階的基礎上繼續求導。一階導數也是一個函式的話，二階求導可以理解為斜率變化的快慢。

通過下面這個圖可以看出對於灰度激變影象，一階和二階的表現：

可以看出二階對激變的時刻更加敏感。

知道來這些怎麼對離散的灰度微分（求導）呢？

一階微分:我們定義為兩個畫素之間的差值

$$\frac{\partial f}{\partial x} = f(x+1) -f(x)$$

二階微分

$$\begin{align}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x} &=\frac{\partial f(x+1)}{\partial x} -\frac{\partial f(x)}{\partial x} \\ &=f(x+1) + f(x-1) - 2f(x) \end{align}$$

下面我們就正式開始進行影象銳化

這裡我們採用二階微分進行銳化先

這裡有一個概念各向同性濾波器。它就是旋轉圖片後濾波結果仍然相同，與影象的突變方向無關。最為簡單的各向同性微分運算元是拉普拉斯運算元。一個二維影象函式$f(x,y)$的拉普拉斯運算元定義為：

$$\begin{align}\nabla^2f &= \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\\ &=f(x+1,y) + f(x-1,y) - 2f(x,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)\end{align}$$
我們可以定義為這樣的模板
$$T_3=\left[\begin{matrix} 0&1&0\\ 1&-4&1\\ 0&1&0\end{matrix}\right]$$
$$T_4=\left[\begin{matrix} 1&1&1\\ 1&-8&1\\ 1&1&1\end{matrix}\right]$$
$$T_5=\left[\begin{matrix} 0&-1&0\\ -1&4&-1\\ 0&-1&0\end{matrix}\right]$$
$$T_6=\left[\begin{matrix} -1&-1&-1\\ -1&8&-1\\ -1&-1&-1\end{matrix}\right]$$

這樣計算出一個影象的邊界影象Temp，與原影象相加（相減），得到銳化的結果。（注意：邊界影象中會有些部分小於0，我們要通過下面操作把他們置為0）

temp(temp<0) = 0;

最終表示式為：

$$g(x,y) = f(x,y)+c\left[\nabla^2f(x,y)\right]$$
當採用上邊 $T_3、T_4$