複數

複數C的定義如下：

$C = R+jI$

其中R和I是實數，j是虛數，即 $j = \sqrt{-1}$ 。

C的共軛複數C*：

$C^{*} = R-jI$

極座標下表示覆數：

$C = |C|(\cos\theta+j\sin\theta)$

其中 $|C| = \sqrt{R^{2}+I^{2}}$ ， $\theta$ 是該向量和實軸（x軸）的夾角。

根據尤拉公式：

$e^{j\theta} = \cos\theta+j\sin\theta$

有：

$C = |C|e^{j\theta}$ ‘

另外，複函式F(u)可表述為：

$F(u) = R(u)+jI(u)$

其中，R(u)和I(u)分別表示實分量函式和虛分量函式。

一維

衝激

連續變數t的單位衝激表示為：

$\delta (t) = \begin{cases} \infty ,& t=0 \\ 0 ,& t\neq 0 \end{cases}$

並且滿足如下等式：

$\int_{-\infty }^{\infty}\delta (t)dt = 1$

一個衝激具有如下的取樣特性：

$\int_{-\infty }^{\infty}f(t)\delta (t)dt = f(0)$

其中f(t)在t=0處是連續的。

在任意點 $t_{0}$ 的衝激表示為 $\delta (t-t_{0})$ ，它的取樣特性為：

$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta (t-t_{0})dt = f(t_{0})$ 。

對於離散變數x，單位離散衝激 $\delta (x)$ 如下：

$\delta (x) = \begin{cases} 1 ,& x= 0\\ 0, & x\neq0 \end{cases}$

並滿足：

$\sum_{x=-\infty}^{\infty}\delta(x) = 1$

類似的，有取樣特性：

$\sum_{x=-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x) = f(0)$

或者：

$\sum_{x=-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-x_{0}) = f(x_{0})$

無限多個分離的週期衝激單元 $\Delta T$

之和是一個衝激串 $s_{\Delta T}(t)$ ：

$s_{\Delta T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n\Delta T)$

下圖是一個衝激串：

傅立葉變換

傅立葉變換是空間域到頻率域的變換。

連續函式f(t)的傅立葉變換為：

$F(\mu) = \mathfrak{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi \mu t}dt$

給定 $F(\mu)$ 可通過傅立葉反變換得到f(t)，即：

$f(t) = \mathfrak{F}^{-1}\{F(\mu)\} = \int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)e^{j2\pi\mu t}d\mu$

上面兩式稱為傅立葉變換對。

求上圖“盒狀”函式f(t)的傅立葉變換：

$\begin{align*} F(\mu)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi \mu t}dt = \int_{-W/2}^{W/2}Ae^{-j2\pi \mu t}dt \\ &= \frac{-A}{j2\pi \mu }[e^{-j2\pi \mu t}]_{-W/2}^{W/2} = \frac{-A}{j2\pi \mu }[e^{-j\pi \mu W}-e^{j\pi \mu W}]\\ &= \frac{A}{j2\pi \mu }[e^{j\pi \mu W}-e^{-j\pi \mu W}] = AW\frac{\sin(\pi \mu W)}{\pi \mu W} \end{align*}$

最後一步根據 $\sin\theta = (e^{j\theta}-e^{-j\theta})/2j$ 。另外最後一步是一個sinc函式：

$sinc(m) = \frac{sin(\pi m)}{\pi m}$

sinc(0) = 1，對於m的其他所有整數，sinc(m) = 0。

傅立葉譜（頻譜）為：

$|F(\mu)| = AW\left | \frac{\sin(\pi \mu W)}{\pi \mu W} \right |$

$F(\mu)$ 和 $|F(\mu)|$ 的曲線如下圖：

從圖中可以看出 $F(\mu)$ 和 $|F(\mu)|$ 的零值位置與“盒狀”函式f(t)的寬度W成反比。

前面提到的週期為 $\Delta T$ 的衝激串

$s_{\Delta T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n\Delta T)$

的傅立葉變換為：

$S(\mu) = \mathfrak{F}\{s_{\Delta T}(t)\} = \frac{1}{\Delta T}\sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})$

它仍是一個衝激串，週期變為1/ $\Delta T$

。這種週期的反比關係與“盒狀”函式及其變換之間的關係是類似的，這點很重要。

卷積

兩個函式的卷積用 $\bigstar$ 表示（定義）：

$f(t)\bigstar h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau )h(t-\tau)d\tau$

卷積定理（與傅立葉變換的關係）：

$f(t)\bigstar h(t) \Leftrightarrow H(\mu)F(\mu)$

$f(t)h(t)\Leftrightarrow H(\mu)\bigstar F(\mu)$

其中， $F(\mu),H(\mu)$ 分別是f(t),h(t)的傅立葉變換， $\Leftrightarrow$ 表示左邊的式子通過傅立葉變換得到右邊的式子，右邊的式子通過傅立葉反變換得到左邊的式子。如：

$\mathfrak{F}\{f(t)\bigstar h(t)\} = H(\mu)F(\mu)$

$\mathfrak{F}^{-1}\{H(\mu)F(\mu)\} = f(t)\bigstar h(t)$

取樣

取樣的方法是用一個週期為 $\Delta T$ 的衝激函串作為取樣函式去乘f(t)得到 $\tilde{f}(t)$ ：

$\tilde{f}(t) = f(t)s_{\Delta T}(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)$

每個取樣值可通過積分得到：

$f_{k} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-k\Delta T)dt = f(k\Delta T)$

取樣的傅立葉變換

取樣後的函式 $\tilde{f}(t)$ 的傅立葉變換 $\tilde{F}(\mu)$ 是：

$\tilde{F}(\mu) = \mathfrak{F}\{\tilde{f}(t)\} = \mathfrak{F}\{f(t)s_{\Delta T}(t)\} = F(\mu)\bigstar S(\mu)$

其中 $S(\mu)$ 是衝激串 $s_{\Delta T}(t)$ 的傅立葉變換，即：

$S(\mu)= \frac{1}{\Delta T}\sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})$

由卷積的定義可繼續得到：

$\begin{align*} \tilde{F}(\mu) &= F(\mu)\bigstar S(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)S(\mu-\tau)d\tau\\ &= \frac{1}{\Delta T}\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T})d\tau\\ &= \frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)\delta(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T})d\tau\\ &= \frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mu-\frac{n}{\Delta T}) \end{align*}$

最後一步根據衝激取樣特性。上式表明，取樣後的函式 $\tilde{f}(t)$

的傅立葉變換 $\tilde{F}(\mu)$ 是 $F(\mu)$ 的一個拷貝的無限、週期序列，拷貝間的間隔由1/ $\Delta T$ 決定。

下圖中，圖a是函式f(t)的傅立葉變換 $F(\mu)$ 的簡圖，圖b~d是不同的1/ $\Delta T$ 對應的 $\tilde{F}(\mu)$ ，分別是過取樣，臨界取樣和欠取樣：

如果能從 $\tilde{F}(\mu)$ 包含的拷貝的週期序列中分離出 $F(\mu)$ 的一個拷貝，那麼就可以從取樣後的版本復原f(t)。上圖中的欠取樣情況圖d，由於取樣率1/ $\Delta T$ 偏低，不能保持 $F(\mu)$ 的完整性，就不能從中完全回覆f(t)。我們考慮臨界取樣的情況圖c，將其放大：

從圖中可以看出，要保持 $F(\mu)$ 的完整性，拷貝間的距離要足夠，即要求 $1/2\Delta T>\mu_{max}$ ，或：

$\frac{1}{\Delta T}>2\mu_{max}$

這就是取樣定理：如果以超過函式最高頻率的兩倍的取樣率來獲取樣本，連續的帶限函式可以完全從它的樣本集恢復。

帶限函式：以原點為中心的有限區間（寬頻）[ $-\mu_{max},\mu_{max}$ ]之外的頻率值，其傅立葉變換為零的函式f(t)。如下圖：

以下圖過取樣的情況為例，來看如何從 $\tilde{F}(\mu)$ 復原f(t)：

圖b的函式由下式定義：

$H(\mu)\begin{cases} \Delta T, & -\mu_{max}\leqslant \mu \leqslant\mu_{max}\\ 0, & other \end{cases}$

根據：

$\tilde{F}(\mu) = \frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mu-\frac{n}{\Delta T})$

可通過下式得到 $F(\mu)$ ：

$F(\mu) = H(\mu)\tilde{F}(\mu)$

再通過傅立葉反變換復原f(t)：

$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)e^{j2\pi \mu t}d\mu$

稱上面的函式 $H(\mu)$ 為低通濾波器，因為它通過頻率範圍低端的頻率，消除所有較高的頻率。

對於欠取樣的情況，容易看出無法通過低通濾波器得到一個完整的 $F(\mu)$ ，而產生頻率混淆。

混淆總是存在，儘管原始函式可能是帶限的，但在實踐中，我們必須限制函式持續的時間，得到非帶限函式。例如，想把帶限函式f(t)限制在區間[0,T]內，可以讓f(t)乘如下函式實現：

$h(t) = \begin{cases} 1, & 0\leqslant t \leqslant T\\ 0, & other \end{cases}$

得到的這個函式有如下的基本形狀：

通過前面介紹，“盒狀”函式的傅立葉變換具有無限擴充套件的頻率分量，如下圖：

可以看出，該函式不是帶限函式。事實上，沒有有限持續時間的函式是帶限的。所以，在實踐中，混淆是不可避免的，但可以通過平滑輸入函式減少高頻分量方法來降低混淆的影響，稱為抗混淆。

離散傅立葉變換（DFT）

為了得到離散傅立葉變換（DFT），我們對取樣後的函式 $\tilde{f}(t)$ 進行傅立葉變換：

$\begin{align*} \tilde{F}(\mu) &=\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(t)e^{-j2\pi \mu t}dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi \mu t}dt\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi \mu t}dt\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}f_{n}e^{-j2\pi\mu n\Delta T} \end{align*}$

$\tilde{F}(\mu)$ 是週期為1/ $\Delta T$ 的無限週期連續函式，為了表徵一個週期，我們要對它的一個週期取樣。假設要在週期 $\mu$ =0到 $\mu$ =1/ $\Delta T$ 之間得到 $\tilde{F}(\mu)$ 的M個等間距樣本，可以在如下頻率處得到：

$\mu = \frac{m}{M\Delta T},m = 0,1,2,...,M-1$

把 $\mu$ 代入 $\tilde{F}(\mu)$ ，並把結果記為 $F_{m}$ ，則：

$F_{m} = \sum_{n=0}^{M-1}f_{n}e^{-j2\pi mn/M},m=0,1,2,...,M-1$

上式就是離散傅立葉變換，對應的離散傅立葉反變換為：

$f_{n} = \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F_{m}e^{j2\pi mn/M},n = 0,1,2,...,M-1$

在二維情況下，用x,y表示影象座標變數和u,v表示頻率變數更為直觀，我們將上面的離散傅立葉變換對改寫成如下形式：

$F(u) = \sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M},u = 0,1,2,...,M-1$

$f(x) = \frac{1}{M}\sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M},x = 0,1,2,...,M-1$

上面的離散傅立葉正變換和反變換都是以M為週期的，即：

$F(u) = F(u+kM)$

$f(x) = f(x+kM)$

其中k是整數。

卷積的離散等價表示為：

$f(x)\bigstar h(x) = \sum_{m=0}^{M-1}f(m)h(x-m)$

其中，x=0,1,2,...,M-1。上式也是週期的，它給出了週期卷積的一個週期，通常稱為迴圈卷積。

二維

二維衝激及取樣

兩個連續變數t和z的衝激 $\delta(t,z)$ ：

$\delta(t,z) = \begin{cases} \infty, & t=z=0 \\ 0, & other \end{cases}$

並且：

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}\delta(t,z)dtdz = 1$

與一維情況類似，有如下取樣特性：

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)\delta(t,z)dtdz = f(0,0)$

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)\delta(t-t_{0},z-z_{0})dtdz = f(t_{0},z_{0})$

二維離散衝激：

$\delta(x,y) = \begin{cases} 1, & x=y=0 \\ 0, & other \end{cases}$

取樣特性：

$\sum_{x=-\infty}^{\infty}\sum_{y=-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(x,y) = f(0,0)$

$\sum_{x=-\infty}^{\infty}\sum_{y=-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(x-x_{0},y-y_{0}) = f(x_{0},y_{0})$

二維衝激串：

$s_{\Delta T\Delta Z}(t,z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-m\Delta T,z-n\Delta Z)$

其中， $\Delta T$ 和 $\Delta Z$ 是連續函式f(t,z)沿t軸和z軸的樣本間的間隔，如下圖：

和一維的情況類似，用 $s_{\Delta T\Delta Z}(t,z)$ 乘f(t,z)可得到取樣後的函式。

二維中的帶限函式：由區間 $[-\mu_{max},\mu_{max}]$ 和區間 $[-v_{max},v_{max}]$ 建立的矩形之外的傅立葉變換為0的函式f(t,z)。

取樣定理：如果滿足

$\frac{1}{\Delta T}>2\mu_{max},\frac{1}{\Delta Z}>2v_{max}$

則連續函式f(t,z)可由一組樣本無誤的恢復。

過取樣和欠取樣如下圖所示：

二維傅立葉變換

f(t,z)是連續函式，其二維傅立葉變換對如下：

$F(\mu,v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi(\mu t + vz)}dtdz$

$f(t,z) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu t + vz)}d\mu dv$

求下圖二維函式的傅立葉變換：

和前面講到的一維“盒狀”函式類似：

$\begin{align*} F(\mu,v) &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi (\mu t+vz)}dtdz\\ &= \int_{-T/2}^{T/2}\int_{-Z/2}^{Z/2}Ae^{-j2\pi (\mu t+vz)}dtdz\\ &= ATZ[\frac{sin(\pi \mu T)}{\pi \mu T}][\frac{sin(\pi vZ)}{\pi vZ}]\end{align*}$

它的傅立葉譜為：

$|F(\mu,v)|= ATZ\left | \frac{sin(\pi \mu T)}{\pi \mu T} \right | \left | \frac{sin(\pi vZ)}{\pi vZ} \right |$

與一維情況類似，零的位置與T和Z的值成反比，如下圖：

二維離散傅立葉變換

類似一維的推導，可以得到下面的二維離散傅立葉變換：

$F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}$

其中，f(x,y)是大小為M*N的影象。

對應的傅立葉反變換為：

$f(x,y)= \frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}$

二維離散傅立葉變換性質

1、平移和旋轉

$f(x,y)e^{j2\pi(u_{0}x/M+v_{0}y/N)}\Leftrightarrow F(u-u_{0},v-v_{0})$

$f(x-x_{0},y-y_{0}) \Leftrightarrow F(u,v)e^{-j2\pi(x_{0}u/M+y_{0}v/N)}$

上面的傅立葉變換對錶明，用指數項乘以f(x,y)將使DFT的原點移到點 $(u_{0},v_{0})$ ；反之，用負指數乘以F(u,v)將使f(x,y)的原點移到點 $(x_{0},y_{0})$ .

使用極座標：

$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,u=w\cos\varphi ,v=w\sin\varphi$

有下面的傅立葉變換對：

$f(r,\theta+\theta_{0})\Leftrightarrow F(w,\varphi+\varphi_{0})$

上式表明，若f(x,y)旋轉 $\theta_{0}$ 角度，則F(u,v)旋轉相同的角度。反之，若F(u,v)旋轉一個角度，f(x,y)也旋轉相同角度。

2、週期性

二維傅立葉變換及其反變換在u方向和v方向是無限週期的，即：

$F(u,v) = F(u+k_{1}M,v) = F(u,v+k_{2}N) = F(u+k_{1}M,v+k_{2}N)$

$f(x,y) = f(x+k_{1}M,y) = f(x,y+k_{2}N) = f(x+k_{1}M,y+k_{2}N)$

其中， $k_{1},k_{2}$ 是整數。

平移和週期性應用的例子：

考慮下圖的一維譜

在區間[0,M-1]中，變換資料由兩個在點M/2處背靠背半個週期組成，為了在該區間中有一個變換的完整週期，可以通過平移得到：

$f(x)e^{j2\pi (u_{0}x/M)}\Leftrightarrow F(u-u_{0})$

將F(0)移到 $u_{0}$ 位置。如果令 $u_{0}$ = M/2，則指數項變為 $e^{j\pi x}$ ，因為x是整數，故它等於 $(-1)^{x}$ ，則：

$f(x)(-1)^{x} \Leftrightarrow F(u-M/2)$

平移後如下圖：

在二維情況下，原理是一樣的，如下圖所示：

把F(0,0)點移到(M/2,N/2)處，即令下式

$f(x,y)e^{j2\pi(u_{0}x/M+v_{0}y/N)}\Leftrightarrow F(u-u_{0},v-v_{0})$

中的 $(u_{0},v_{0}) = (M/2,N/2)$ ，得到：

$f(x,y)(-1)^{x+y}\Leftrightarrow F(u-M/2,v-N/2)$

3、對稱性

任意實函式或虛擬函式w(x,y)都表示成一個奇數部分和一個偶數部分的和：

$w(x,y) = w_{e}(x,y)+w_{o}(x,y)$

其中，偶數部分和奇數部分定義如下：

$w_{e}(x,y) = \frac{w(x,y)+w(-x,-y)}{2}$

$w_{o}(x,y) = \frac{w(x,y)-w(-x,-y)}{2}$

這裡，我們談論對稱（反對稱）時，我們指的是關於序列中點的對稱（反對稱），即一維陣列中心點右側為正，左側為負（二維情況類似）。於是，奇和偶的定義變為：

$w_{e}(x,y) = w_{e}(M-x,N-y)$

$w_{o}(x,y) = -w_{o}(M-x,N-y)$

我們知道，兩個偶函式或兩個奇函式的積是偶函式，一個偶函式和一個奇函式的的積是奇函式，另外，離散函式是奇函式的唯一方法是其所有樣本的和為0。於是，有如下結論：

$\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}w_{e}(x,y)w_{o}(x,y) = 0$

偶函式奇函式例子：

考慮一維序列

f = {f(0) f(1) f(2) f(3)} = {2 1 1 1}

其中M = 4，要檢驗偶性，需滿足f(x) = f(4-x)，即：

f(0) = f(4)，f(1)=f(3)，f(2)=f(2)，f(3)=f(1)

這裡f(4)在被考察範圍之外，所以f(0)對於偶函式的測試沒關係。

奇序列中，根據奇函式的定義，第一項 $w_{o}(0,0)$ 永遠是0。考慮一維序列

g = {g(0) g(1) g(2) g(3)} = {0 -1 0 1}

序列中各項滿足g(x) = -g(4-x)，所以是奇序列。

二維情況如下：

上圖是一個奇序列。

實函式f(x,y)的傅立葉變換是共軛對稱的，即：

$F^{*}(u,v) = F(-u,-v)$

證明如下：

$\begin{align*} F^{*}(u,v) &=\left [\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)} \right ]^{*}\\ &= \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)^{*}e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}\\ &= \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi((-u)x/M+(-v)y/N)}\\ &= F(-u,-v) \end{align*}$ 第三步是因為f(x,y)是實函式。同理可以證明虛擬函式f(x,y)的傅立葉變換是共軛反對稱的：

$F^{*}(-u,-v) = -F(u,v)$

下表列出離散傅立葉變換（DFT）的相關性質：

其中，R(u,v)，I(u,v)分別代表F(u,v)的實部與虛部。一個複函式是偶函式意味著其實部和虛部都是偶函式，同樣，一個複函式是奇函式意味著其實部和虛部都是奇函式。

二維傅立葉譜和相角

二維DFT的極座標形式：

$F(u,v) = |F(u,v)|e^{j\phi (u,v)}$

其中，|F(u,v)|稱為傅立葉譜（或頻譜）：

$|F(u,v)| = [R^{2}(u,v)+I^{2}(u,v)]^{1/2}$

$\phi(u,v)$ 稱為相角：

$\phi(u,v) = \arctan \left [ \frac{I(u,v)}{R(u,v)} \right ]$

功率譜為：

$P(u,v) = |F(u,v)|^{2} = R^{2}(u,v)+I^{2}(u,v)$

|F(u,v)|， $\phi(u,v)$ ，P(u,v)都是大小為M*N的陣列。

根據前面提到的，實函式的傅立葉變化是共軛對稱的，可以得到

譜是關於原點偶對稱的：

|F(u,v)| = |F(-u,-v)|

相角關於原點奇對稱：

$\phi(u,v) = -\phi(-u,-v)$

另外，容易得到如下結論：

$F(0,0) = MN\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y) = MN\bar{f}(x,y)$

其中， $\bar{f}(x,y)$ 表示f的平均。上式表明零頻率項與f(x,y)的平均值成正比。從而有：

$|F(0,0)| = MN|\bar{f}(x,y)|$

比例常數MN通常很大，|F(0,0)|通常是譜的最大分量，有時稱為變換的直流分量。

二維卷積定理

二維迴圈卷積：

$f(x,y)\bigstar h(x,y) = \sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)$

上式給出了一個二維週期序列的一個週期。

二維卷積定理：

$f(x,y)\bigstar h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)H(u,v)$

$f(x,y)h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)\bigstar H(u,v)$

左右兩邊構成傅立葉變換對。

前面說過，離散傅立葉變換的表示式是有周期的。現在假如我們要求 $F(u,v)\bigstar H(u,v)$ ，即是求兩個周期函式的卷積，必須考慮他們的週期性。

兩個函式的卷積，可以看成是一個函式關於原點翻轉並完全滑過零一個函式，在滑動過程中的每一個位移處我麼執行計算。如下圖所示的f和w進行卷積：

假如我們要對各有400個點的函式f和h進行卷積，可以寫成：

$f(x)\bigstar h(x) = \sum_{m=0}^{399}f(m)h(x-m)$

包含以下過程：

關於原點求h的映象（即使h旋轉180°）；
以數量x平移h函式；
對每個平移的x值，計算上式右邊全部乘積之和。

注：位移x的範圍要求h完全滑過f 所有值，這裡x的範圍是0到799。

上述過程可有下圖左邊的一列表示：

當f和h是周期函式時，他們的卷積過程就變成了上圖中右邊列的形式。可以看出，由於週期的存在，使他們互相干擾而導致所謂 纏繞錯誤，即圖j是不正確的。

解決纏繞問題的辦法就是把0新增到兩個函式中，使他們具有相同的長度，用P來表示，P滿足：

$P\geqslant A+B-1$

其中，A，B表示兩個函式分別具有A個樣本和B個樣本。

在上面的例子中，每個函式有400個點，則使用的最小值P = 799，我們要在每個函式的結尾新增399個0，稱為0填充。

類似的，在二維情況下也通過0填充來解決纏繞問題，令f(x,y)和h(x,y)分別是大小為A*B和C*D畫素的陣列，則需滿足：

$f_{p}(x,y) = \begin{cases} f(x,y) & 0\leqslant x\leqslant A-1,0\leqslant y\leqslant B-1\\ 0 & A\leqslant x \leqslant P\ or \ B \leqslant y \leqslant Q \end{cases}$

影象處理之頻率域數學基礎

複數

一維

衝激

傅立葉變換

卷積

取樣

取樣的傅立葉變換

離散傅立葉變換（DFT）

二維

二維衝激及取樣

二維傅立葉變換

二維離散傅立葉變換

二維離散傅立葉變換性質

二維傅立葉譜和相角

二維卷積定理

影象處理之頻率域數學基礎

數字影象處理之空間域濾波和銳化（Octave實現）

系統學習數字影象處理之頻域濾波

頻率域濾波基礎之二（讀數字影象處理學習halcon）

頻率域濾波基礎之五（讀數字影象處理學習halcon）

影象處理之MATLAB基礎

影象處理之python(基礎學習)

Tensorflow深度學習之十二：基礎影象處理之二

系統學習數字影象處理之基礎

python數字圖像處理(四) 頻率域濾波

轉《影象處理之表面濾波》

計算機視覺（五）：頻率域濾波基礎

影象處理之---光流法

影象處理之積分圖應用四（基於區域性均值的影象二值化演算法）

影象處理之積分圖應用三（基於NCC快速相似度匹配演算法）

影象處理之積分圖應用二(快速邊緣保留濾波演算法)

影象處理之積分圖應用一(半徑無關的快速模糊演算法)

影象處理之積分圖演算法

影象處理之影象基本變化（平移、縮放、旋轉）（Octave實現）

數字影象處理之直方圖均衡化（Octave)

影象處理之頻率域數學基礎

複數

一維

衝激

傅立葉變換

卷積

取樣

取樣的傅立葉變換

離散傅立葉變換（DFT）

二維

二維衝激及取樣

二維傅立葉變換

二維離散傅立葉變換

二維離散傅立葉變換性質

二維傅立葉譜和相角

二維卷積定理

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