題意

• 無向圖找出每個割點，然後求出刪除這個割點所得的連通分量個數
• 節點編號在1-1000，但沒說按順序給出

思路

• 無向圖求所有割點是一類經典問題，這篇blog就以這題為例簡單介紹一下求解的演算法思路
• 我們希望在O（n+m）的時間裡求出所有的割點
• 首先，總體思路是對圖進行dfs操作，dfs的過程其實對應了一棵dfs搜尋樹，而我們就利用這棵搜尋樹的獨特性質，來解決求割點的問題
• dfs過程是，當我們搜尋到節點u時，會遍歷和u有邊連結的所有節點v，這裡有兩種情況，一是v已經被搜尋過了，二是v還沒有被搜尋過
• 對於第二種情況，我們自然會繼續dfs(v)
• 而對於第一種情況，在無向圖中，存在一個很好的性質。即v節點一定是dfs樹中，u的一個祖先節點（或者u本身，這個情況可以通過把父親節點id作為引數傳給dfs避免掉，詳細參見程式碼）。這個性質通過畫個事例，然後反證法，很容易證明。這種情況中的邊(u, v)，我們稱之為反向邊
• 我們根據這個性質，可以得到一個引理1：若u是dfs樹中的非根節點，則u是割點，當且僅當，dfs樹中存在一個u的孩子節點v，以v為根的子樹中，任意節點都沒有連到u的祖先節點的反向邊
• 而當u是根節點時，則u是割點的充要條件是，在dfs樹中u的孩子節點數超過1
• 這個證明根據之前我們說的性質，和割點的定義不難推出
• 具體實現的時候，我們通過維護兩個陣列pre和low來實現
• pre記錄一個時間戳，即pre[u]記錄u是第幾個被訪問的節點
• low[u]記錄以u為子樹的節點中，反向邊連到最早被訪問的節點的pre值
• 具體到這個題裡，要求刪除節點u後的聯通分量個數，只要統計一下滿足引理1的節點v的個數即可知道
• 注意：節點編號不是連續排布以及圖可能不連通的問題

實現

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
 

#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+5;
map<int, set<int> > g;
map<int, int> pre;
map<int, int> low;
int count = 0;
map<int, int> cutNum;

int dfs(int u, int fa){
    low[u] = pre[u] = ++count;
    int child = 0;
    for (set<int>::iterator it = g[u].begin(); it != g[u].end(); it++){
        int v = *it;
        if (fa == v){
            continue;
        }
        if (!pre[v]){
            child++;
            low[u] = min(low[u], dfs(v, u));
            if (low[v] >= pre[u]){
                cutNum[u]++;
            }
        }
        else{
            low[u] = min(low[u], pre[v]);
        }
    }
    if (fa == -1 && child == 1){
        cutNum.erase(cutNum.lower_bound(u));
    }
    else if (fa != -1 && cutNum.find(u) != cutNum.end()){
        cutNum[u]++;
    }
    return low[u];
}

int main(){
    for (int t=1;true;t++){
        int u, v;
        g.clear();
        pre.clear();
        cutNum.clear();
        low.clear();
        count = 0;
        while (scanf("%d", &u) != EOF && u){
            scanf("%d", &v);
            g[u].insert(v);
            g[v].insert(u);
        }
        if (!g.size()){
            break;
        }
        for (map<int, set<int> >::iterator it = g.begin(); it != g.end(); it++){
            int u = it->first;
            if (!pre[u]){
                dfs(u, -1);
            }
        }
        printf("Network #%d\n", t);
        if (!cutNum.size()){
            puts("  No SPF nodes");
        }
        for (map<int, int>::iterator it = cutNum.begin(); it!=cutNum.end();it++){
            int u = it->first;
            int num = it->second;
            printf("  SPF node %d leaves %d subnets\n", u, num);
        }
        puts("");
    }

    return 0;
}