一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

例如，上圖是一個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？

說明：m 和 n 的值均不超過 100。

示例 1:

輸入: m = 3, n = 2
輸出: 3
解釋:
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

輸入: m = 7, n = 3
輸出: 28

此問題實質：求組合數C(m+n-2,m-1)

方法一（遞迴，時間超時）

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
//        直接轉換成組合（無序）問題  遞迴求解
        if(m==1 || n==1) return 1;
        return pathCounts(m+n-2,m-1);
    }
    public int pathCounts(int p,int q){
//         這裡只考慮p>q的情況
        if(p==1) return 1;
        if(p==q) return 1;
        if(q==0) return 1;
        if(q==1) return p;
        return pathCounts(p-1,q-1)+pathCounts(p-1,q);

}
}
 

方法二：動態規劃（基於遞迴的動態規劃 自底向上記錄每一次的值）

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
//        直接轉換成組合（無序）問題  遞迴求解
        if(m==1 || n==1) return 1;
        return pathCounts(m+n-2,m-1);
    }
//     計算組合數
    public int pathCounts(int p,int q){
//         儲存組合數的值 用於自底向上計算（避免遞迴）
        int temp[][]=new int[p+1][p+1];
//         初始值
        for(int i=1;i<=p;i++){
            temp[i][0]=1;
            temp[i][i]=1;
            temp[i][1]=i;
        }
        for(int i=3;i<=p;i++){
            for(int j=2;j<i;j++){
                temp[i][j]=temp[i-1][j-1]+temp[i-1][j];
                if(i==p&&j==q) break;
            }
        }
        return temp[p][q];
} 
}