一、題目：矩陣最小路徑

給定一個包含非負整數的 m x n 網格，請找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數字總和為最小。

說明：每次只能向下或者向右移動一步。

示例:

輸入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
輸出: 7
解釋: 因為路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。

思路1：時間O（M*N），空間O（M*N）

新建一個矩陣dp（大小也是M*N），該矩陣是從上往下，從左往右記錄每一步的結果的，當前的結果可以根據該矩陣上面和左邊最小的值來獲得，即：

dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]) + grid[i][j]
 

如：

所以結果為dp[-1][-1] = 7

代碼：

    def minPathSum(self, grid):
        """
        :type grid: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        #
 
使用二維數組
        if not grid or not grid[0]:
            return 0
        matrix = list(zip(*grid))
        if len(grid) <= 1:
            return sum(grid[0])
        if len(matrix) <= 1:
            return sum(matrix[0])
        dp = [[0]*len(grid[0]) for i in range(len(grid))]
        dp[0][0] = grid[0][0]
        for i in range(1,len(grid)):
            dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i-1][0]
        for j in range(1,len(grid[0])):
            dp[0][j] = grid[0][j] + dp[0][j-1] 
        for i in range(1,len(grid)):
            for j in range(1,len(grid[0])):
                dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]) + grid[i][j]
        return dp[-1][-1]
 

思路2：時間O（M*N），空間O（ min(M,N) )

新建一個列表dp（大小為min(M,N)），循環行數次更新記錄每一行的路徑值。

如：

grid =

[ [1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]]

第一次更新：dp = [1，4，5]

第二次更新：dp = [2，7，6]，比如：原本dp = [1，4，5]，然後 先將 dp[0] 更新為2，然後dp[1] : 【min ( dp[0] 和dp [1] ) 與grid [1][1]相加之和】來更新 dp [1]

第三次更新：dp = [6，8，7]

更新是根據：

dp[j] = min(dp[j-1],dp[j]) + grid[i][j]

代碼：

        #使用一維數組
        if not grid or not grid[0]:
            return 0
        if len(grid) <= 1:
            return sum(grid[0])
        if len(grid[0]) <= 1:
            return sum([val[0] for val in grid])
        n = min(len(grid),len(grid[0]))
        m = len(grid) if n == len(grid[0]) else len(grid[0])
        dp = [0] * n
        dp[0] = grid[0][0]
        if n == len(grid):
            grid = list(zip(*grid))
        for i in range(1,n):
            dp[i] = grid[0][i] + dp[i-1]
        for i in range(1,m):
            for j in range(n):
                dp[j] = min(dp[j-1],dp[j]) + grid[i][j] if j>=1 else dp[j] + grid[i][j]
        return dp[-1]

算法52-----矩陣最小路徑【動態規劃】