1. 生成樹

在一個任意連通圖G中，如果取它的全部頂點和一部分邊構成一個子圖G'，即：V（G'）=V（G）和E（G'）⊆E（G）

若同時滿足邊集E（G'）中的所有邊既能夠使全部頂點連通而又不形成任何迴路，則稱子圖G'是原圖G的一棵生成樹。

連通圖是n個點n-1條邊。 在圖G的一棵生成樹G'中，若再增加一條邊，就會出現一條迴路。這是因為此邊的兩個端點已連通，再加入此邊後，這兩個端點間有兩條路徑，因此就形成了一條迴路，子圖G'也就不再是生成樹了。同樣，若從生成樹G'中刪去一條邊，就使得G'變為非連通圖。這是因為此邊的兩個端點是靠此邊唯一連通的，刪除此邊後，必定使這兩個端點分屬於兩個連通分量中，使G'變成了具有兩個兩通分量的非連通圖。

所以生成樹滿足以下條件：
（1）V（G'）=V（G）和E（G'）⊆E（G）

（2）G'聯通的

（3）G'沒有迴路

生成樹的性質：

（1）G'中有n-1條邊

（2）生成樹不唯一

2. 最小生成樹Minimum Spanning Tree（MST）

最小生成樹是一副連通加權無向圖中一棵權值最小的生成樹

3 實現方法

求圖的最小生成樹的方法（演算法）主要有兩個：

（1）普里姆演算法：斷集法，子樹生長法

（2）克魯斯卡爾演算法：避圈法，短邊優先法

主要可以使用Prim和Kruskal演算法實現，對於稀疏圖來說，用Kruskal效率更高加上並查集可對其進行優化。

4 Kruskal

基本思路是：

先構造一個只有n個節點的子圖T。

然後從權值最小的邊Ei依次選取，如果新增Ei到T中不產生迴路則在T中新增這條邊。

如此重複直到新增到n-1條邊為止。

5 Prim演算法