二分查詢（binary search）

二分查詢對於學過資料結構或者演算法的人來說，應該是非常熟悉的。其基本思想是：比較目標（target）和中間關鍵字的大小關係，如果二者相等，則查詢完畢；如果二者不等，則可以根據二者的大小關係，將查詢的範圍減半。

雖然二分查詢的演算法很簡單，但是對於一個code新手來說，正確無誤地實現一個二分查詢演算法也不是那麼容易的。

最近，刷了幾道二分查詢的題目，將刷題的一點收穫整理如下：

1．二分查詢演算法適用的範圍：

①必須是順序表，不適用於鏈式儲存
②查詢之前，序列必須是有序的。對於無序的序列，可以先採用合適的排序演算法進行排序後，再使用二分查詢。

2．二分查詢演算法的基本模式：

遞迴方式：

int binary_search(const int[] arr,int start,int end,int khey){
    if(start > end)
        return -1;
    int mid = start + (end - start) / 2;
    if(arr[mid] > khey)
        return binary_search(arr,start,mid-1,khey);
    if(arr[mid] < khey)
        return binary_search(arr,mid+1
 
,end,khey);
    return mid;//最後檢測相等是因為大多數情況下是小於或者大於
}

非遞迴方式：（更常用）

int binary_search(const int[] arr,int start,int end,int khey){
    int mid;
    while(start <= end){
        mid = start + (end - start) / 2;
        if(arr[mid] < khey)
            start = mid +1;
        else if(arr[mid] > khey)
            end = mid - 1
 
;
        else 
            return mid;
    }
    return -1;
}

其中，需要注意的地方有：
① 我們學習二分演算法的時候，求mid可能會用：mid = （start + end）/2，這時，在計算start+end的時候，可能會產生溢位，故以上所寫的兩種方式，均採用start + （end - start） / 2的方式，有時候可以避免溢位。
②在非遞迴演算法中，while迴圈中究竟應該是（start < end）還是（start <= end），這應該具體情況具體分析；
③對於mid和khey比較的三種情況（大於，小於，相等）的排列順序，大多數情況下，是影響不大的，實際中，可以根據三種情況出現的概率，決定其順序；
④以上僅僅是二分查詢演算法的模板，具體使用時應該具體情況具體分析，靈活運用。

3．二分查詢的複雜度

時間複雜度：O(logn)
空間複雜度：O(1)

在有些地方你可能會看到三分查詢(ternary search)，三分查詢基本思想和二分查詢一致，具體來講：每次選出三分之一點和三分之二點，而不是中點，然後比較target和這兩個點的大小關係，從而將查詢的範圍縮小至原來的三分之一。

二分查詢和三分查詢的空間複雜度都是O(1)，而二分查詢的時間複雜度是O（log₂n），三分查詢的時間複雜度是O(log₃n)。既然三分查詢的時間複雜度要優於二分查詢，那我們為什麼不經常使用三分查詢，而經常使用二分查詢呢？原因在於在最壞情況下，三分查詢要明顯劣於二分查詢。這個具體的推導過程就不詳述了， 想了解的可以參考這道題目。