【計導非課系列】 第五節 二進位制 進位制計算 編碼

對於計算機來說，數字只有兩個——0和1。

資料對於計算機來說是相當重要的，而電路的通斷兩種狀態決定了計算機只能通過1和0來進行一切事情的處理。所以，我們見到的計算機的一切都是通過二進位制才能呈現出來的。這次就會著重介紹一下進位制的計算和編碼。

博文目錄

• 什麼是資料
• 數的進位制
• 二進位制
• 進位制的轉換
• 邏輯運算
• 計算機對資料的處理
• 常用編碼
• 數的表示
• 符號數的機器碼錶示

before we start…

計算機為什麼採用二進位制？

計算機中，數是用物理器件的狀態表示的，二進位制只有兩種狀態，0和1，容易用電路表示。
二進位制規則簡單，容易

用數字邏輯電路實現。
二進位制還可以表示邏輯值，進行邏輯計算。
To say it simply, 這本來就是電路決定的。而這樣一決定之後，正好帶來了許多好處：比如0代表假的，沒發生過的；比如所有數字只有兩種狀態，便於管理，寫起來程式還方便……總之，二進位制就是強！

自動計算要解決的問題

資料的儲存、表示、運算，以及自動執行的計算模型

計算機主要技術指標

• 字長：計算機一次存取傳遞或加工的資料長度。也就是系統是多少位的。
• 主存容量：記憶體（主儲存器）所能儲存的二進位制容量，主存越大，交換越少，處理速度越快。
• 計算機指令執行速度：（MIPS），每秒鐘執行加減法有幾百萬次，可以通過時鐘頻率間接估計。
• 時鐘週期（頻率、主頻） CPU主頻速度：CPU在單位時間內發出的脈衝數。
• 資料輸入/輸出最高速率：計算機的資料吞吐量。
  例題：下面的特點分別對應哪些技術指標？
  

資料

什麼是資料

資料：反應客觀世界事物屬性的原始記錄。

需要對資料做什麼

• 儲存資料：資料怎樣做才能被記到計算機上？用0和1。
• 組織資料：怎樣儲存這些0和1對我最有用？資料結構。

儲存容量單位換算

在計算機裡面，“千”不是所謂的10³，而是2¹⁰！也就是1024。
儲存容量指的是儲存器有多少個儲存單元。最基本的儲存單元是位，bit，可以存放1個0或者1。
關係如下：
1B=1位元組=8位
1KB=1024B=2¹⁰

B
1MB=1024KB=2²⁰B
1GB=1024MB=2³⁰B
1TB=1024GB=2⁴⁰B
1PB=1024TB=2⁵⁰B
1EB=1024PB=2⁶⁰B
硬體廠商和軟體大小的“矛盾”
硬體廠商認為，Kilo當作1000……
軟體認為，Kilo當作1024……

數的進位制

什麼是進位制？

就是，逢幾進一！

所有進位制都是這樣規定的：

基數+位權
基數：幾進位制基數就是幾。二進位制就是2，十進位制就是10！
而且，幾進位制代表能出現的數字，就在0到這個數減一。
位權：數制中某一位上1所代表的多大。所處位置的“價值”。
啥意思？就是說這一位有多大。比如，百位，位權就是100唄~
對於十進位制243，2位權100，4位權10，3位權1。

所有進位制都是這樣計算的：

進位制的作用

規定了一個數位上最多有多少種狀態。

二進位制數

符號0是0，符號1是1，這就是二進位制

二進位制的儲存問題 位 位模式

資訊表示的最小單位：位 bit

有兩種狀態的物質就構成一個位，用開關、磁極、電容器、觸發器就可以物質實現。

位模式——是一個集合：8個位構成一個位元組

8個位構成一個位元組，這就是一種位模式。
儲存單元=位元組

進位制的轉換

二進位制數轉換為十進位制數

直接用位權乘以數字相加，第一位是0次冪，小數點往左冪次遞增，往右冪次遞減。
求(1001.101)(2)的十進位制數值。
=12⁰+12³+12^-1+12^-3
=8+1+0.5+0.125=9.625

十進位制數轉換為二進位制數：除二取餘法

來一道題：

也可以記住一些常用的十進位制和二進位制整數轉換表

十進位制小數轉化為二進位制小數？乘二取餘法

首先不斷地對前次得到的積的小數部分乘2，並列出該次得到的整數數值，然後按從前向後的次序排列。該方法簡稱乘2取整法。

可能會一直很多步，出不來結果，甚至迴圈！
此時要由轉換精度決定。

數字遊戲——二八十六之間的轉換

二進位制是最基本的，八進位制是三位二進位制，十六進位制是四位二進位制

直接上例題，一看就會！



加法減法乘法除法列豎式和十進位制完全一樣

邏輯運算

非、與、或、異或

異或XOR：就是不一樣的時候，結果才是真。
或非NOR：一樣的時候，結果才是真。

計算機對資料的處理

典例：AD轉換 Analog/Digital

Sampling取樣 Quantization數字化 Coding編碼
對影象訊號，可以使用矩陣，1黑0白；也可以使用RGB。
對視訊訊號，使用幀frame。

最終，都是要回歸到位模式儲存的。

常用編碼

BCD碼 Binary-Coded Decimal 二-十進位制編碼

使用4位表示一個十進位制數
8421BCD編碼 就是位權分別為8、4、2、1
表示0~9綽綽有餘了。

壓縮BCD碼：一個位元組分成兩半，每半表示一個十進位制數

非壓縮BCD碼：不拆開，一個位元組表示一個十進位制數

比如，89表示為： (00001000 00001001)BCD

ASCII碼 美國資訊交換標準程式碼

The American Standard Code for Information Interchange

使用7位或8位表示特定的128或256種字元

編碼方案：高三位和低四位

計算機對數字的位模式儲存處理：二進位制 VS ASCII

前一種：二進位制檔案
後一種：ASCII碼檔案或文字檔案

辨析：文字檔案指的是？ASCII碼檔案！
ASCII碼檔案佔用空間更大

十六進位制表示？只不過是把二進位制多轉換了一下。

漢字常見編碼體系

漢字輸入碼 （外碼）： 輸入裝置產生的，你怎麼把這個漢字輸進去

比如，區位碼，國標碼、拼音碼、新全拼、新雙拼、五筆字型碼、簡碼、表形碼、自然碼、智慧ABC漢字輸入碼。

漢字機內碼：用於計算機內部儲存和處理的漢字編碼

用於計算機內部 儲存和處理的漢字編碼，通常由國標碼的兩個位元組（最高位置“1”形成）
下面是我的一點理解
要點：什麼叫漢字機內碼？就是機器內部用的編碼！不管你從滑鼠或者別的什麼用的什麼方法輸入的這些漢字，在我計算機裡面，我就用這樣的編碼來記下來你到底輸入的是什麼玩意，在需要處理的時候，我也用我的這個編碼來管理。
機內，計算機內部。幹什麼用？第一，從外部讀入之後存下來：儲存。第二，需要使用這些漢字，處理。
最關鍵的就是，計算機內部，儲存，處理。
外碼和內碼關聯：外碼多種多樣，內碼往往統一。
漢字機內碼每個位元組第一位都是1：為了與ASCII碼區別開來。所以，漢字機內碼會是這個樣子：
1。。。。。。。1。。。。。。。
通過這一點，來一個例題：

在記憶體中，若漢字以GB2312的內碼錶示，已知儲存了6個位元組的字串。其十六進位制內容依次為：6AH、B1H、D2H、53H、C8H、B4H，這個字串中有_______個漢字。

解題思路：漢字和ASCII怎麼區分開的？每個位元組第一位都是1的才是漢字。所以，這就很簡單了。

漢字字形碼：用於列印、輸出，確定漢字字形點陣

確定一個漢字字形點陣的編碼，用於漢字顯示和列印輸出。
保留在儲存介質中的全部漢字字形碼稱為字型檔。

用16×16點陣儲存2個漢字的字形碼，需要用多少個位元組？

How to? 16×16÷8×2=64

資料校驗碼

奇偶校驗碼 1的個數為奇數
海明校驗碼

數的表示

計算機儲存資料分為定點數和浮點數兩種方式。

定點數

小數點位置固定不變，計算機設計者在機器的結構中指定一個不變的位置。
常用的定點數：定點整數、定點小數

定點整數

小數點固定在最低數值位之後，有一個符號位。
如果參加運算的是小數，需要乘以一個比例因子放大為整數，然後送入計算機。

定點小數

表示的都是小數，小數點在最左邊符號位和數值位之間，只能儲存不到1的數。
如果參加運算的數是大於等於1的數，在送入計算機以前，除以一個比例因子，將其縮小為小於1的數。

優點：計算簡單方便；缺點：但需要對參加運算的數進行比例因子的計算，增加了額外的計算量。

浮點數

浮點數的統一格式

我的理解：
可以看出，分為4部分。
一是符號，整數還是負數。
二是有效數字，也叫尾數，也就是一長串小數。
三是基數，也就是用的幾進位制。
四是階碼，也就是小數點偏離了幾位，才讓有效數字變得很中規中矩。

規格化浮點數

二進位制，
M是純小數，且小數點後面是1。
階碼E是正或負整數
舉例：

這兩個都是規格化浮點數。前面是定點數。

浮點機器數

計算機中數的表示

二進位制的四則運算，乘法和除法可以通過加減法實現，因此可以沒有乘除法裝置。

符號數的機器碼錶示

機器數：一個有符號的數在機器中的二進位制表示形式。最高位是符號數，1代表負數，0代表正數。
真值：將帶符號位的機器數轉化為真正數值的形式，就是機器數的真值。
比如：機器數：10000011
真值：-0000011
無符號數：整個機器字長全部二進位制位均表示數值位，相當於數的絕對值。
符號位只是第一位，其餘位都是數值位。

三種表示法

• 原碼錶示法
• 反碼錶示法
• 補碼錶示法

前提：正數原碼、反碼、補碼都是一樣的

原碼錶示法：符號+真值的絕對值

如，5這個數：
+5：0 0000101
-5： 1 0000101

反碼錶示法：負數符號位不動，其餘按位取反

如：5這個數
反碼
+5：0 0000101
-5：1 1111010

補碼錶示法：負數補碼加一

如：5這個數：
補碼
+5：0 0000101
-5： 1 1111011

不得不說的0

負0的反碼全部是1，補碼全部是0。

舉例理解

求-1011的補碼，並放入8位的儲存單元中。
儲存單元：位元組
原碼 1000 1011
反碼 1111 0100
補碼 1111 0101

劃重點：補碼計算原數——補碼當原碼，再次求補碼

已知1111 0101是一個補碼，它是負數，反碼就是1111 0100，原碼就是1000 1011。
或者對1111 0101再求補碼：
原碼 1111 0101
反碼 1000 1010
補碼 1000 1011
兩種方法都可以求出來。


丟棄最高位，保留符號位，這裡涉及到了溢位的問題。
機器負數計算方法：補碼連同符號位一起取反，末尾加一。
比如：
0000 1011的相反數：1000 1011
它的補碼：1111 0101
全部取反：0000 1010
末尾加一：0000 1011
這樣得到了正數。
原理：先求原碼，也就是求補碼，包括除了符號位以外其他位置按位取反，和末尾加一。第二步是符號位取反，兩步合起來就是這樣了。
我覺得不用去記，知道原理就可以遊刃有餘。

補碼特點

• 0的機器碼錶示唯一
• 二進位制加減法都變成了補碼加法
• 符號位直接參加運算
  這樣，減法器也可以不要了。
  

怎樣實現的只有一個加法器，實現所有功能？

加減法通過直接補碼加法，乘除法需要進行移位，移位器實現乘除法。邏輯運算需要邏輯運算器。

表示範圍

假設有n位。

原碼：n-1位，每一位都可以表示2^n-1個數字，再加上+0和-0，所以一共有-(2^n-1-1)~+(2^n-1-1)
反碼也是這麼多位，因為原碼反碼互相轉換很方便。
補碼不太一樣，沒有+0和-0的區別，顯然多了一個。10000000，就是它，-128。既當成符號位又當成數值位。

總結

二進位制是計算機採用的基本方式，在0和1構成8位元組位模式中實現所有計算機要做的事情。所有！而原碼反碼補碼等二進位制的實現形式，漢字機內碼BCD碼等碼制，這是計算機能夠實現如此複雜功能的一個重要方面。瞭解二進位制，才能真正接近計算機。