什麼是生成樹呢？

一個連通圖的生成樹是指一個極小連通子圖， 它含有圖中的全部頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。

什麼是最小生成樹？

在一個連通圖的所有生成樹中，各邊的代價之和最小的那棵生成樹稱為該連通圖的最小代價生成樹（MST）， 簡稱最小生成樹。

求最小生成樹有兩種演算法，本文講prim演算法。

簡略證明

使用反證法證明

設一棵最小生成樹T不包含最短邊a，將a加入最小生成樹T中，書中必定構成一個包含a的迴路，而回路中必定有邊比a大（因a為最短邊），則刪除比a大的邊得到一棵比原先T更小的樹T1，而T1才是最小生成樹，則與假設矛盾，證明成立。

prim演算法

將樹的所有點劃分為兩個集合U 和 V

每次選一個最小代價的點從V加入U中，然後更新V中的點到U的最小代價，周而復始直到V為空。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define MAX_VERTEX_NUM 20
 4 #define INFINTY 32768
 5 typedef int AdjType;//權值型別
 6 typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind;
 7 typedef char VertexData;
 8 //邊集
 9
 
 typedef struct ArcNode{
10     AdjType adj;
11     //Other info
12 }ArcNode;
13 typedef struct{
14     VertexData vertex[MAX_VERTEX_NUM];
15     ArcNode arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
16     int vexnum, arcnum;
17     GraphKind kind;
18 }AdjMatrix;
19 struct{
20     int adjvex;
21     int lowcost;
 
22 }closedge[MAX_VEX_NUM];
23 
24 MiniSpanTree_Prim(AdjMatrix gn, int u){
25     closedge[u].lowcost = 0;
26     for(int i = 0; i< gn.vexnum; i++)       //初始化
27     if(i != u){
28         closedge[i].adjvex = u;
29         closedge[i].lowcost = gn.arcs[u][i].adj;
30     }
31     for(int e = 1; i < = gn.vexnum-1;e++){
32         int v = Minium(closedge); //the minium cost from V to U
33         int u = closedge[v].adjvex;
34        // printf();
35        closedge[v].lowcost = 0; //add v to U
36        for(int i = 0; i< gn.vexnum; i++)
37        if(gn.arcs[v][i].adjgn.arcs[v][i].adj < closedge[i].lowcost){
38         closedge[i].lowcost = gn.arcs[v][i].adj;
39         closedge[i].adjvex = v;
40        }
41     }
42 
43 }