圖->連通性->最小生成樹(克魯斯卡爾演算法) 最小生成樹(普里姆演算法)
阿新 • • 發佈：2018-12-15
文字描述
上一篇部落格介紹了最小生成樹(普里姆演算法)，知道了普里姆演算法求最小生成樹的時間複雜度為n^2, 就是說複雜度與頂點數無關，而與弧的數量沒有關係；
而用克魯斯卡爾(Kruskal)演算法求最小生成樹則恰恰相反。它的時間複雜度為eloge (e為網中邊的數目)，因此它相對於普里姆演算法而言，適合於求邊稀疏的網的最小生成樹。
克魯斯卡爾演算法求最小生成樹的步驟為：假設連通網N={V,{E}}, 則令最小生成樹的初始狀態為只有n個頂點而無邊的非連通圖 T=(V, {}}, 圖中每個頂點自成一個連通分量。在E中選擇代價最小的邊，若該邊依附的頂點落在T中不同的連通分量中，則將此邊加入到T中，否則捨去此邊而選擇下一條代價最小的邊。依次類推，直至T中所有頂點都在同一連通分量上為止。
示意圖：
演算法分析：
實現克魯斯卡爾的話，可以藉助於之前介紹的"堆"(堆排序)和樹的等價劃分的方法。用”堆”來存放網中的邊，則每次選擇最小代價的邊僅需loge的時間(第一次需e)。又生成樹T的每個連通分量可看成一個等價類，則構造T加入新的邊的過程類似於求等價類的過程，由此可用MFSet型別來描述頂點，用堆Heap存放弧結點資訊，使構造T的過程僅需eloge的時間，由此，克魯斯
程式碼實現
1 // 2 // Created by lady on 18-12-15. 3 // 4 5 #include <stdio.h> 6最小生成樹(克魯斯卡爾演算法)#include <stdlib.h> 7 #include <string.h> 8 9 #define MAX_NODE_NUM 20 10 #define MAX_ARCH_NUM 30 11 12 #define EQ(a, b) ((a)==(b)) 13 #define LT(a, b) ((a) <(b)) 14 #define LQ(a, b) ((a)<=(b)) 15 16 17 typedef struct PTNode{ 18 char data[10]; 19 int index;20 int parent; 21 }PTNode; 22 23 typedef struct{ 24 PTNode node[MAX_NODE_NUM+1]; 25 int n; 26 }MFSet; 27 28 typedef struct ArcBox{ 29 int vex1, vex2; 30 int weight; 31 }ArcBox; 32 33 typedef struct{ 34 ArcBox r[MAX_ARCH_NUM+1]; 35 int len; 36 }HeapType; 37 38 /* param1 S: S是已存在的集合 39 * param2 index: index是S中某個子集的成員的下標值 40 * result: 查詢函式，確定S中位置為index所屬子集Si，並返回其子集中的根結點的位置。 41 */ 42 static int findMFSet(MFSet *S, int index) 43 { 44 if(index < 1 || index > S->n) 45 return -1; 46 int j = 0; 47 for(j=index; S->node[j].parent>0; j=S->node[j].parent); 48 return j; 49 } 50 51 /* 52 * 集合S中位置為index_i和index_j所在的子集互不相交。 53 * result: 將置為index_i和index_j所在的互不相交的子集合併為一個子集。 54 */ 55 static int mergeMFSet(MFSet *S, int index_i, int index_j) 56 { 57 int loc_i = -1, loc_j = -1; 58 if((loc_i=findMFSet(S, index_i)) < 0){ 59 return -1; 60 } 61 if((loc_j=findMFSet(S, index_j)) < 0){ 62 return -1; 63 } 64 if(loc_i == loc_j){ 65 return -1; 66 } 67 //結點數少的子集指向結點數大的子集 68 if(S->node[loc_i].parent > S->node[loc_j].parent){ 69 S->node[loc_j].parent += S->node[loc_i].parent; 70 S->node[loc_i].parent = loc_j; 71 }else{ 72 S->node[loc_i].parent += S->node[loc_j].parent; 73 S->node[loc_j].parent = loc_i; 74 } 75 return 0; 76 } 77 78 static int initialMFSet(MFSet *S, int n) 79 { 80 int i = 0; 81 S->n = n; 82 for(i=1; i<=S->n; i++) 83 { 84 printf("輸入第%d個子集:", i); 85 scanf("%s", S->node[i].data); 86 S->node[i].parent = -1; 87 S->node[i].index = i; 88 } 89 return 0; 90 } 91 92 /* 93 * 返回結點中資料等於data的下標值 94 */ 95 static int getLocaofVex(MFSet *S, char data[]) 96 { 97 int i = 0; 98 for(i=1; i<=S->n; i++){ 99 if(!strncasecmp(S->node[i].data, data, sizeof(S->node[0].data))){ 100 return S->node[i].index; 101 } 102 } 103 return -1; 104 } 105 106 static void printMFSet(MFSet *S) 107 { 108 printf("列印MFSet結構中的資料:\n"); 109 int i = 0; 110 for(i=1; i<=S->n; i++){ 111 printf("index %d:(data %s, parent %d)\n", S->node[i].index, S->node[i].data, S->node[i].parent); 112 } 113 printf("\n"); 114 } 115 116 117 118 ////////////////////////////////////////////// 119 120 static int printHeap(HeapType *H) 121 { 122 printf("列印堆結構中的資料:\n"); 123 int i = 0; 124 for(i=1; i<=H->len; i++){ 125 printf("index %d: arch:(%d,%d),weight %d)\n", i, H->r[i].vex1, H->r[i].vex2, H->r[i].weight); 126 } 127 return 0; 128 } 129 130 static int initialHeap(HeapType *H, MFSet *S, int n) 131 { 132 H->len = n; 133 int i = 0; 134 char s1[10] = {0}; 135 char s2[10] = {0}; 136 char s3[10] = {0}; 137 int weight = 0; 138 139 char tmp[30] = {0}; 140 for(i=1; i<=H->len; i++) 141 { 142 printf("輸入第%d條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：", i); 143 memset(tmp, 0, sizeof(tmp)); 144 scanf("%s", tmp); 145 sscanf(tmp, "%[^','],%[^','],%s[^\\n]", s1, s2, s3); 146 H->r[i].vex1 = getLocaofVex(S, s1); 147 H->r[i].vex2 = getLocaofVex(S, s2); 148 H->r[i].weight = atoi(s3); 149 } 150 return 0; 151 } 152 153 /* 154 *已知H->r[s,...,m]中記錄的關鍵字除H->r[s].key之外均滿足的定義 155 *本函式調整H-r[s]的關鍵字，使H->r[s,...,m]成為一個小頂堆(對其中 156 *記錄的弧的權值而言) 157 */ 158 void HeapAdjust(HeapType *H, int s, int m) 159 { 160 ArcBox rc = H->r[s]; 161 int j = 0; 162 //沿weight較小的孩子結點向下篩選 163 for(j=2*s; j<=m; j*=2){ 164 //j為weight較小的孩子結點下標 165 if(j<m && (!LQ(H->r[j].weight, H->r[j+1].weight))) 166 j+=1; 167 if(LQ(rc.weight, H->r[j].weight)) 168 break; 169 H->r[s] = H->r[j]; 170 s=j; 171 } 172 H->r[s] = rc; 173 } 174 175 void HeapSort(HeapType *H, MFSet *S) 176 { 177 int i = 0; 178 printf("1)建立一個小頂堆!\n"); 179 //把H->r[1,...,H->length]建成小頂堆 180 for(i=H->len/2; i>=1; i--){ 181 HeapAdjust(H, i, H->len); 182 } 183 printHeap(H); 184 printf("2)依次輸出堆頂元素並重新調整成小頂堆!\n"); 185 ArcBox tmp; 186 for(i=H->len; i>1; i--){ 187 tmp = H->r[1]; 188 H->r[1] = H->r[i]; 189 H->r[i] = tmp; 190 HeapAdjust(H, 1, i-1); 191 printf("新堆頂的弧資訊: (%d,%d) %d", tmp.vex1, tmp.vex2, tmp.weight); 192 if(mergeMFSet(S, tmp.vex1, tmp.vex2) > -1){ 193 printf("\t是最小生成樹的弧!\n"); 194 }else{ 195 printf("\n"); 196 } 197 } 198 } 199 200 201 202 203 int main(int argc, char *argv[]) 204 { 205 int nodes=0; 206 int archs=0; 207 printf("輸入頂點數和弧數:"); 208 scanf("%d,%d", &nodes, &archs); 209 210 printf("\n以MFSet結構存放頂點資訊:\n"); 211 MFSet S; 212 initialMFSet(&S, nodes); 213 printMFSet(&S); 214 215 printf("以堆結構存放弧資訊:\n"); 216 HeapType H; 217 initialHeap(&H, &S, archs); 218 printHeap(&H); 219 220 printf("對存放了弧資訊的堆進行排序,在排序過程中輸入最小生成樹的邊\n"); 221 HeapSort(&H, &S); 222 return 0; 223 }
程式碼執行
/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled 輸入頂點數和弧數:6,10 以MFSet結構存放頂點資訊: 輸入第1個子集:V1 輸入第2個子集:V2 輸入第3個子集:V3 輸入第4個子集:V4 輸入第5個子集:V5 輸入第6個子集:V6 列印MFSet結構中的資料: index 1:(data V1, parent -1) index 2:(data V2, parent -1) index 3:(data V3, parent -1) index 4:(data V4, parent -1) index 5:(data V5, parent -1) index 6:(data V6, parent -1) 以堆結構存放弧資訊: 輸入第1條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V3,V1,1 輸入第2條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V3,V2,5 輸入第3條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V3,V5,6 輸入第4條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V3,V6,4 輸入第5條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V3,V4,5 輸入第6條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V1,V2,6 輸入第7條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V2,V5,3 輸入第8條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V5,V6,6 輸入第9條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V6,V4,2 輸入第10條弧資訊(頂點1 頂點2 權值)：V4,V1,5 列印堆結構中的資料: index 1: arch:(3,1),weight 1) index 2: arch:(3,2),weight 5) index 3: arch:(3,5),weight 6) index 4: arch:(3,6),weight 4) index 5: arch:(3,4),weight 5) index 6: arch:(1,2),weight 6) index 7: arch:(2,5),weight 3) index 8: arch:(5,6),weight 6) index 9: arch:(6,4),weight 2) index 10: arch:(4,1),weight 5) 對存放了弧資訊的堆進行排序,在排序過程中輸入最小生成樹的邊 1)建立一個小頂堆! 列印堆結構中的資料: index 1: arch:(3,1),weight 1) index 2: arch:(6,4),weight 2) index 3: arch:(2,5),weight 3) index 4: arch:(3,6),weight 4) index 5: arch:(3,4),weight 5) index 6: arch:(1,2),weight 6) index 7: arch:(3,5),weight 6) index 8: arch:(5,6),weight 6) index 9: arch:(3,2),weight 5) index 10: arch:(4,1),weight 5) 2)依次輸出堆頂元素並重新調整成小頂堆! 新堆頂的弧資訊: (3,1) 1 是最小生成樹的弧! 新堆頂的弧資訊: (6,4) 2 是最小生成樹的弧! 新堆頂的弧資訊: (2,5) 3 是最小生成樹的弧! 新堆頂的弧資訊: (3,6) 4 是最小生成樹的弧! 新堆頂的弧資訊: (4,1) 5 新堆頂的弧資訊: (3,4) 5 新堆頂的弧資訊: (3,2) 5 是最小生成樹的弧! 新堆頂的弧資訊: (5,6) 6 新堆頂的弧資訊: (3,5) 6 Process finished with exit code 0