主席樹（chairman tree）（據說是被chairman傳開的）

它是一種專門用來實現求區間第K大這類操作的資料結構

Q：這不是分塊輕鬆解決的事嗎？

A：是的，但是分塊時間為的，而主席樹是的

Q：這是不是很難，程式碼複雜度極高？

A：NoNoNo，程式碼複雜度一點都不高，前置知識只有動態開點線段樹

Q：那我不會怎麼辦？

A：右轉自行度娘，或者菜雞的部落格  

菜雞很菜，剛學了主席樹，還是最簡單的靜態

首先思考一下，區間求第K大，最暴力的解自然是每次排序，是

Q：如果用資料結構維護呢？

 A：每次詢問用一棵權值線段樹或者權值樹狀陣列+二分維護，也是

權值樹狀陣列+二分姑且不論，我們只談權值線段樹（時間複雜度低才是王道）

每次詢問的是一段區間，與區間相關的演算法沒有多少，也就字首和，線段樹……

權值線段樹下標記的是值的大小，存的是出現次數，所以具有可加減性

故選用字首和

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前面的引導就差不多結束了，進入正文了

主席樹=字首和+線段樹=對每個字首和中的點開一棵權值線段樹（下標記的是權值的線段樹）

線段樹上的結點記錄個數中，大小在區間中的數的個數

建立棵線段樹，不動態開點必定超空間，動態開點後，將新的樹建立在原來的樹之上

每次只用新插入一個結點，

如果該結點應該在左子樹，右子樹就不用變；反之左子樹不用變

每次新插入只用，總共建個結點就夠了

	void add(int &p,int l,int r,int x)
	{
		lc[++cnt]=lc[p],rc[cnt]=rc[p],s[cnt]=s[p]+1,p=cnt;
		if(l==r) return;
		int mid=l+r>>1;
		if(x<=mid) add(lc[p],l,mid,x);
			else add(rc[p],mid+1,r,x);
	}  //lc為左兒子，rc為右兒子，s為結點個數
 

查詢：由於上文提到線段樹具有可減性，只用在的線段樹的線段樹找第K大，這算是權值線段樹的基本操作吧

（不會可見可憐的狗狗這道題，也可以看程式碼）

	int kth(int p1,int p2,int l,int r,int x)
	{
		if(l==r) return l;
		int xx=s[lc[p2]]-s[lc[p1]];
		int mid=l+r>>1;
		if(x<=xx) return kth(lc[p1],lc[p2],l,mid,x);
			else return kth(rc[p1],rc[p2],mid+1,r,x-xx); 
	}

總結：主席樹就是字首和+線段樹的思想毒瘤了一點（有心人可以看出我上面的引導是倒推的），但是隻要你熟練掌握線段樹，知道思想後小菜一碟

例題（時刻更新）

1、Luogu P3834 【模板】可持久化線段樹 1（主席樹）

   額，模板題，加個離散化就號了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=4e6+5;
int n,m,rt[N],b[N];
struct A{int id,x; }a[N];

bool cmp(A x,A y)
{
	return x.x<y.x;
}

struct B
{
	int cnt,lc[N],rc[N],s[N];
	void add(int &p,int l,int r,int x)
	{
		lc[++cnt]=lc[p],rc[cnt]=rc[p],s[cnt]=s[p]+1,p=cnt;
		if(l==r) return;
		int mid=l+r>>1;
		if(x<=mid) add(lc[p],l,mid,x);
			else add(rc[p],mid+1,r,x);
	}
	
	int kth(int p1,int p2,int l,int r,int x)
	{
		if(l==r) return l;
		int xx=s[lc[p2]]-s[lc[p1]];
		int mid=l+r>>1;
		if(x<=xx) return kth(lc[p1],lc[p2],l,mid,x);
			else return kth(rc[p1],rc[p2],mid+1,r,x-xx); 
	}
}zxs;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		a[i].id=i,scanf("%d",&a[i].x);
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) b[a[i].id]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		rt[i]=rt[i-1],zxs.add(rt[i],1,n,b[i]);
	while(m--)
	{
		int l,r,k; scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
		printf("%d\n",a[zxs.kth(rt[l-1],rt[r],1,n,k)].x);
	}
	return 0;
}

2、可憐的狗狗（這是超連結）

模板題*2

3、Luogu P3919 【模板】可持久化陣列（可持久化線段樹/平衡樹）

模板題*3

4、BZOJ 2223: [Coci 2009]PATULJCI 

模板題，查詢中位數相同的是否超過序列長度的一半