給定一個整數 n，計算所有小於等於 n 的非負整數中數字 1 出現的個數。

示例:

輸入: 13
輸出: 6 
解釋: 數字 1 出現在以下數字中: 1, 10, 11, 12, 13 。

解題思路：
1.參考：https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4629032.html
通過上面的列舉我們可以發現，100以內的數字，除了10-19之間有11個‘1’之外，其餘都只有1個。如果我們不考慮[10, 19]區間上那多出來的10個‘1’的話，那麼我們在對任意一個兩位數，十位數上的數字(加1)就代表1出現的個數，這時候我們再把多出的10個加上即可。比如56就有(5+1)+10=16個。如何知道是否要加上多出的10個呢，我們就要看十位上的數字是否大於等於2，是的話就要加上多餘的10個'1'。那麼我們就可以用(x+8)/10來判斷一個數是否大於等於2。
對於三位數區間 [100, 199] 內的數也是一樣，除了[110, 119]之間多出的10個數之外，共21個‘1’，其餘的每10個數的區間都只有11個‘1’，所以 [100, 199] 內共有21 + 11 * 9 = 120個‘1’。那麼現在想想[0, 999]區間內‘1’的個數怎麼求？根據前面的結果，[0, 99] 內共有20個，[100, 199] 內共有120個，而其他每100個數內‘1’的個數也應該符合之前的規律，即也是20個，那麼總共就有 120 + 20 * 9 = 300 個‘1’。

程式碼：

class Solution {
public:
    int countDigitOne(int n) {
        int res = 0, a = 1, b = 1;
        while (n > 0) {
            res += (n + 8) / 10 * a + (n % 10 == 1) * b;
            b += n % 10 * a;
            a *= 10;
            n /= 10;
        }
        return res;
    }
};

對於（x+8）/10的理解：考慮res += (n + 8) / 10 * a + (n % 10 == 1) * b; n>=2和n<2會造成一個a的區別，a可以理解為個位、十分位、百分位等上1的個數，所以結合上面的描述，就是說尾數>=2的時候，就會有額外的1出現。關於這塊可結合下面的解法。
 

2.參考：https://blog.csdn.net/geekmanong/article/details/51050854
利用數學歸納法，直接對n進行分析，歸納總結規律

例如n=abcde五位數，我們分析百位的c，主要有以下三種情況：

1）當c == 0的時候，比如13013，此時百位出現1的是：00 100 ~ 00 199， 01 100~01 199，……，11 100~ 11 199，12100~12199共1300個，顯然這個由高位數字決定，並且受當前位數影響，結果為：（高位數字）乘以（當前位數）；
2）當c == 1的時候，比如13113，此時百位出現1的肯定包括c=0的情況，另外還需要考慮低位的情況即：00100 ~ 00113共114個，結果為：（高位數字）乘以（當前位數）+（低位數字）+1；
3）當c >= 2的時候，比如13213，此時百位出現1的是：00 100 ~ 00 199， 01 100~01 199，……，11 100~ 11 199，12 100 ~ 12 199，13100~13199，共1400個，這個僅由高位數字決定，結果為：（高位數字+1）乘以當前位數。

程式碼：

class Solution {
public:
    int countDigitOne(int n) {
        if (n <= 0)  return 0;
        long count = 0;
        long factor = 1;
 
        while (n / factor)
        {
            long lower = n%factor;
            long cur = (n / factor) % 10;
            long higher = n / (factor * 10);
 
            switch (cur)
            {
            case 0:
                count += higher*factor;
                break;
            case 1:
                count += higher*factor + lower + 1;
                break;
            default:
                count += (higher + 1)*factor;
            }
            factor *= 10;
        }
        return (int)count;
    }
};