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問題轉化：求最高位對1的貢獻

例如輸入193，我們先求1作為最高位百位對1的貢獻，假設結果為c1；然後我們將最高位1去掉，就剩下93，我們求得9作為最高位十位對1的貢獻為c2；同樣我們去掉9，剩下3，我們求得3作為最高位個位對1的貢獻是c3。

答案 = c1+c2+c3。

那麼，求最高位對1的貢獻怎麼求？按照以下規則：

如果n是一位數，最高位就是個位，由於沒有比它更小的位數了，因此對1的貢獻只有它本身（個位），如果各位數字大於等於1，貢獻是1，否則貢獻是0。

如果n是兩位數，最高位就是十位，因此對1的貢獻分為0-9部分和十位本身。0-9：貢獻能力是1，再乘以十位數字就是貢獻1的個數；十位：貢獻大小取決於十位數字，如果十位數字大於1，則貢獻是10；如果十位數字等於1，則貢獻是去掉十位剩下的數+1。

如果n是三位數，最高位就是百位，因此對1的貢獻分為0-99部分和它本身（百位）。0-99：貢獻能力是20，百位：貢獻大小取決於百位數字，如果百位數字大於1，則貢獻是100；如果十位數字等於1，則貢獻是去掉百位剩下的數+1。

如果n是四位數，最高位就是千位，因此對1的貢獻分為0-999部分和它本身（千位）。0-999：貢獻能力是300，千位：貢獻大小取決於千位數字，如果千位數字大於1，則貢獻是1000；如果千位數字等於1，則貢獻是去掉千位剩下的數+1。

以此類推。。。。。。

舉例說明：

413是個三位數，我們這裡先考慮最高位4對1的貢獻，根據上面的規則，貢獻分為0-99部分和百位部分。首先說0-99貢獻：0-99共有20個1，因此貢獻能力是20，一共有四次（0

你可能會問，這裡只考慮最高位4對1的貢獻，後面的13也貢獻了6個1。沒錯，因此我們考慮完4對1的貢獻後，就要將4剔除，剩下13，我們還是套用此規則。

13是個兩位數，我們這裡只找最高位1對1的貢獻，根據上面的規則，貢獻分為0-9部分和十位部分。首先說0-9貢獻：0-9共有1個1，因此貢獻能力是1，一共有1次（0-9），因此共貢獻了1*1 = 1個1；再說十位的貢獻：因為十位數字等於1，因此十位的貢獻就是4（去掉十位後的數+1，即3+1，因為1

然後剔除十位1，只剩下3了，3大於等於1，所以貢獻是1。

因此結果 = 4*20+100 + 1*1+4 + 1 = 186。

0-9貢獻能力是1，0-99貢獻能力是20，0-999貢獻能力是300，0-9999貢獻能力是4000，這是怎麼來的？

1*10+10 = 20；20*10+10^2=300；300*10+10^3=400。就是這個規律。

最後上程式碼：

class Solution {
	int GetContribution1(int nDigit){
		if (nDigit == 1)
		{
			return 0;
		}

		int nTem = nDigit - 2;
		int nRes = 1;
		int i = 1;
		while(nTem-- > 0)
		{
			nRes = nRes * 10 + power10(i++);
		}
		return nRes;
	}

	// 10的n次冪
	int power10(int n)
	{
		int nTem = n;
		int res = 1;
		while (nTem > 0)
		{
			res *= 10;
			nTem--;
		}
		return res;
	}

public:
	int countDigitOne(int n) {
		int nRes = 0;

		// 定義一個數組記錄輸入的每一位
		vector<int> vecNum;
		int nTem = n;
		while(nTem)
		{
			vecNum.push_back(nTem % 10);
			nTem /= 10;
		}

		nTem = n;
		while(vecNum.size() > 0)
		{
			// 當前共有幾位
			int nCurWei = vecNum.size();
			// 當前最高位是多少
			int nHigh = vecNum.back();
			// 當前最高位如果是0，則對1沒有貢獻
			if (nHigh > 0)
			{
				// 貢獻的第一部分
				nRes += GetContribution1(nCurWei) * nHigh;

				// 貢獻的第二部分
				if (nHigh == 1)
				{
					nRes += nTem % power10(nCurWei - 1) + 1;
				}
				else
				{
					nRes += power10(nCurWei - 1);
				}
				// nTem表示去除最高位剩下的數
				nTem %= power10(nCurWei - 1);
			}
			vecNum.pop_back();
		}

		return nRes;
	}
};

時間複雜度應該是O(log N)。

水平有限，歡迎批評。