圖論最小生成樹

阿新 • • 發佈：2018-12-03

前言

推出一個新系列，《看圖輕鬆理解資料結構和演算法》，主要使用圖片來描述常見的資料結構和演算法，輕鬆閱讀並理解掌握。本系列包括各種堆、各種佇列、各種列表、各種樹、各種圖、各種排序等等幾十篇的樣子。

最小生成樹

最小生成樹(Minimum Spanning Tree)，簡稱MST，更詳細點叫最小權重生成樹，是一副連通加權無向圖中一棵權值最小的生成樹。對於圖，在完全連通的情況下，則擁有生成樹。而如果圖不連通的話，則擁有多棵生成子樹，構成生成森林。

最小生成樹正式的定義為：給定一個無向圖 $G = (V, E)$ ， $E_{ab}$ 表示連線頂點a與頂點b的邊，有 $E_{ab}\in E$ ，而 $w_{ab}$ 表示該邊的權重，若存在T為E的子集(即 $T\subseteq E$ )且 (V, T) 為樹，使得

的 $w(T)$ 最小，則此T為G的最小生成樹。

利用最小生成樹解決實際問題的例子有很多，比如某個鎮有十幾個小村莊，現要在這些村莊中構建一個通訊網路，將每個村莊都連線起來，如何走線能最節省電纜？這就可以用最小生成樹解決。

Prim演算法

Prim（普里姆）演算法是一種用於求解最小生成樹的演算法，通過此演算法能搜尋到圖邊集合中某個特定的子集，該子集構成的樹能連通圖的所有頂點，而且所有邊的權重之和最小。該演算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（Vojtěch Jarník）發現；並在1957年由美國電腦科學家羅伯特·普里姆（Robert C. Prim）獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該演算法。

Prim的主要思想是：從圖中任意一個頂點開始，每次選擇與當前頂點集距離最近的頂點，將對應的邊加入到樹中，直至所有頂點被處理完。

演算法步驟

對於一個加權連通圖，其頂點集合為V，邊集合為E；
從集合V中任選一個頂點作為初始頂點，將該頂點標為已處理；
已處理的所有頂點可以看成是一個集合T，計算所有與集合T中相連線的頂點的距離，選擇距離最短的頂點，將其標記為已處理，並記錄最短距離的邊；
不斷計算已處理的頂點集合T和未處理的頂點的距離，每次選出距離最短的頂點標為已處理，同時記錄最短距離的邊，直至所有頂點都處理完。
最終，所有記錄的最短距離的邊構成的樹，即是最小生成樹。

Prim過程

假如我們現在有一個7個頂點的無向加權圖，結構如下圖，分別用0-6來表示圖的每個頂點，每條邊上的數字為對應的權重。

為了記錄過程狀態，引入如下表格，第一列“頂點”表示圖的頂點，分別為0到6；第二列“處理標識”表示對應頂點是否已處理，未處理狀態為F，已處理狀態為T；第三列“權重”表示頂點到頂點的權重，初始值為INF；第四列“頂點”用於描述最小生成樹，與第一列的“頂點”組合成最小生成樹的邊，初始值為-1。

現在我們隨便選一個頂點3作為初始頂點，將該頂點標記為已處理T，並且權重置為0，因為自己對自己的權重為0。

此時已處理集合為{3}，檢測與頂點3相鄰的頂點，先檢查(3,1)邊的權重，權重設為4，最小生成樹另外一個頂點設為3，表示頂點1到頂點3的邊。

繼續檢查(3,2)邊的權重，權重設為4，最小生成樹另外一個頂點設為3，表示頂點2到頂點3的邊。

類似地，檢查(3,4)邊的權重，權重設為5，最小生成樹另外一個頂點設為3。

檢查(3,5)邊的權重，權重設為1，最小生成樹另外一個頂點設為3。

對於已處理集合為{3}，相鄰的所有頂點中，找出權重最小的邊，即權重為1的邊(3,5)，將頂點5的處理標識設為T，並將其加入到已處理集合中，此時集合為{3,5}。

對於集合{3,5}，檢測與它們相鄰的頂點，這裡注意到因為頂點3上一輪已經檢測過了，不必再針對頂點3進行權重檢測了，但頂點5能更新之前的權重（可以這樣想一下：頂點3到頂點2的權重如果為4，而頂點5到頂點2的權重為2，那麼就取權重小的）。於是，檢查(5,2)邊的權重，權重設為2，最小生成樹另外一個頂點設為5，表示頂點2到頂點5的邊。