結合 高翔老師的著作《視覺SLAM十四講：從理論到實踐》，加上小白的工程經驗共同完成。

1.四元數的定義

        旋轉矩陣用九個量描述三自由度的旋轉，具有冗餘性：尤拉角與旋轉向量是緊湊的，但是具有奇異性。事實上，我們找不到不帶奇異性的三維向量描述方式。

奇異性舉例解釋為：

當我們想用兩個座標表示地球表面時（如經度和維度），必定存在奇異性（維度為°時經度無意義）。

        我們用複數集表示複平面上的向量，而複數的乘法則能表示複平面上的旋轉：例如，乘上覆數 i 相當於逆時針把一個復向量旋轉90度。四元數是Hamilton找到的一種擴充套件的複數，它既是緊湊的，也沒有奇異性。如果說缺點的話，四元數不夠直觀，其運算稍微複雜一些。

        一個四元數 q 擁有一個實部和三個虛部。如：

        其中 i , j , k 為四元數的三個虛部。這三個虛部滿足關係式：

        有時人們也用一個標量和一個向量來表達四元數：

        這裡s稱為四元數的實部，而 v 稱為它的虛部。如果一個四元數的實部為零，稱之為實四元數。反之，若讓門的實部為零，稱之為虛四元數。

        我們能用單位四元數表示三維空間中任意一個旋轉。乘以 i 對應著旋轉180度，而 

        假設某個旋轉是繞單位向量  進行了角度  的旋轉，那麼這個旋轉的四元數形式為： 

                                                                 .

        反之，我們亦可從單位是四元數中計算出對應旋轉軸與夾角。

        在四元數中嗎，任意的旋轉都可以由兩個互為相反數的四元數表示。同理，取 為0，則得到一個沒有旋轉的四元數：

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