背景

1. 我們有圖 G=(V, E)，V是頂點的集合，E是邊的集合。
2. 圖中邊的權重都為非負數 （滿足1，2兩點有時稱之為流網路）。
3. 對於這個圖G，有兩個頂點很重要，一個是源頭s，一個是匯聚點t，我們想考慮的是從源頭s流向匯聚點t的流。

我們想要解決的問題：在一個流裡，有著每條邊的運載能力限制，我最多能從源頭運輸多少數量到目的地。

那麼什麼是流呢？

流的定義

定義：直觀來說，流就像它的名字一樣，從源頭s運送一些“東西”到匯聚點t，比如下水道系統運輸水流，公路網路運輸車流。

流具有三個需要注意的點！！

1. 對於圖中非s和t的普通結點，流進量等於
   流出量
2. 我們非常關心總運輸流量，比如這個下水道系統，究竟從s點到t點最多能運輸多少立方米的水？我們把它記成|f|，這個|f|極其重要，是我們研究的目的所在。
3. 當然，每條邊是有運輸上限的，就像某條公路車流是有上限的一樣，若運輸量無窮無盡，我們的研究也就沒有意義了。我們將從u點到v點的運輸上限，或者說是運載能力記為c(u,v)。對於從u點到v點的流量，記作f(u,v)。顯然對所有邊(u,v)我們有f(u,v)<=c(u,v)。

研究目的：最大化|f| (|f|的定義在上面第二點)，在一個流網路裡，有著每條邊的運載能力限制，我最多能從s運輸多少東西到t。

總結一下，流可以看成一個圖，滿足兩個條件：
1.除了s和t，流入等於流出。
2.所有邊的流量f小於運載量c。(flow < capacity)
讓我們來看一個流的例子：

那麼這個圖中我們關心的總運輸量是多少呢？

是10！直觀來想，從s流出10的流量，在複雜網路中經過一系列流入等於流出的操作，最終匯入t，這就是總流量的定義：從s運輸到t的流量數。

所以提及總流量，我們盯著s看就好了。

回憶起我們的研究目的，其實就是想尋找一個最大的|f|，此例中|f|=10，還能更大嗎？

這就是最大流問題：尋找滿足運載上限的最大流。
為了解決這個問題，我們引進割，那麼割是什麼呢？

割的定義

割說白了，就是對於點的分割，有了流的基礎，我們直接看例子。

左右兩個黃色的區域，說白了就是點的集合，正式一點來說，我們把它記成(S,S’)，比如左黃區域為S(源頭s在S裡)，右黃區域為S’(目的地t在S’裡)。
割很隨意，但是有個要求，就是s和t要屬於不同的

對於割，我們只關心一個事情：從S到S’的總運載上限cap(S,S’)，就是割的容量。
在這裡，我們不關心從S到S’的流，不關心從S’到S的總運載上限，比如這個例子裡，cap(S,S’)=5+10=15，而不是等於5+10+15=30。

這個定義還挺死板的，總結一下，割形成了兩個區域，我們關心的是兩個區域之間“橋樑”的運載量之和，橋樑的方向一定是一致的，比如都是從S到S’的方向。

在我們知道了所有割的容量後，我們最想知道的是這其中最小的那個容量，即最小割的容量。

說完了割，還是沒有說到為什麼這個概念的引進可以解決最大流問題，我們接下來看看最大流最小割的關係。

最大流最小割

我們回憶一下，流是一個邊權重非負的圖，流入等於流出。割是把流分成兩個區域，s和t分佈於不同的區域。

最小割大於等於最大流，因為只有這樣，流才能順利從一個區域運輸到另一個區域（想想流要通過從S到S’的橋樑）。

換言之，對於任意一個割(S,S’)，最大流都要小於等於cap(S,S’)，因為我研究的是從源頭s到t，可以想成是從S區域到S’區域，那麼我運輸的流量肯定要小於等於橋樑的總限制。

所以我們有了第一個關係式：max|f| <= cap(S,S’)

關鍵的來了，這個關係式的上界取等發生在(S,S’)是最小割。這個被稱為最大流最小割定理，所以我們完成了轉化，將尋找最大流問題轉化為了尋找最小割的問題。

那麼如何找到最小割呢？
首先引進兩個術語：saturate和avoid，這兩個詞都是形容流f對邊e)的。還是很形象的，一個充滿一個避開。
f saturates e: 即f(e) = c(e)，就是流量充滿了運載上限，比如10/10。
f avoids e: f(e) = 0
有這兩個術語後，我們有方法如下：
f是一個流，(S, S’)是一個割，如果f充滿了從S到S’的每一座橋，避開了從S’到S的每一座橋，則f是一個最大流，(S, S’)是一個最小割。
那麼為什麼最大流等於最小割的總運載上限呢？（關於這個問題的解答，還是開一篇新的文章吧）
先不考慮為什麼，我們先介紹如何找到最大流的演算法，即Ford-Fulkerson演算法。

Ford-Fulkerson

首先這個演算法有個重要的工具：殘存網路。殘存網路其實就是具有殘存容量的圖。演算法導論上有個普遍公式來定義殘存容量：

翻譯一下公式，說明的就是對於兩點間的殘存容量定義為：
1.如果這兩點連線原來就是原圖的邊，那麼它的殘存容量等於運載上限-運輸流量。
2.如果這兩點的反向連線是原圖的邊，那麼它的殘存容量等於那條邊的運輸流量。
3.其他情況是0，當做沒連通。

很不直觀呀，所以我們結合例子來說明說明殘存容量以及殘存網路。
首先先明確一下，在殘存網路中我們只關心運載上限（就是殘存容量啦）。

這個例子中，左邊是原圖，右邊是殘存網路。
我們先來看源頭s和它右上角的結點a（就是10/20相連的那兩點），為什麼轉換成殘存網路中形成了一個10和10的圈？
我們回到不直觀的公式定義，c_f(s,a)應該是等於20-10的，因為(s,a)是原圖的邊。那麼c_f(a,s)是多少呢，因為這個的反向連線在原圖裡是(s,a)是邊，所以c_f(a,s) = f(s,a) = 10
那麼直觀來說怎麼生成殘存網路呢，原圖的每條邊都需要拆解，比如考慮那條5/15的從b指向t的邊，我們畫在殘存網路中就是生成一條15-5容量的邊，從b指向t，然後生成一個5的邊，從t指向b。（不用為b是哪個點感到困惑，其實就是例子中t左上角的那個點）如果發現容量為0的邊，就不用畫在殘存網路裡了。
請在例子裡練練手，找上幾個殘存容量你就掌握瞭如何生成殘存網路的方法了。

接下來我們看看殘存網路對我們的幫助：
1.殘存網路中沒有從s到t的路徑時，最大流等於最小割容量。
2.殘存網路中有從s到t的路徑時，最大流不等於最小割容量。
關於以上兩點的證明用到了割，會在新一篇文章說到。

如果是情況2：我們考慮路徑P：s->v₀->v₁->v₂->… ->v_n ->t，把它叫增廣路徑。在增廣路徑中找最小的c_f，記作F。在這種殘存網路還有路徑從s通向t的情況中，我們沒有做到最好，我們要把F納入我們對於流的更新，直到找不到增廣路徑為止，更新方法如下：

做了這麼多鋪墊，又是殘存網路，又是對流的更新，接下來介紹Ford-Fulkerson演算法。
我們從0流量出發（此時殘存網路就是原圖），找到增廣路徑（注意增廣路徑一定是在殘存網路裡找），接著把流更新，直到殘存網路中沒有增廣路徑（就是沒有路徑從s到t啦）為止。下面我們還是看例子：

在示例中，左邊是殘存網路，右邊是更新後的原圖。一開始(a)的殘存網路就是原圖，我們找了條增廣路徑（粗線），找到了最小的c_f，就是4，然後把4引入了原圖的流更新。
從(a)更新後的原圖，我們可以畫出它的殘存網路，於是我們來到了(b)，還是老步驟，找增廣路徑，找最小的c_f，以它來更新原圖（從(a)的右圖到(b)的右圖）。強烈推薦從c往後自己將這個過程找完，花幾分鐘找完你就記住了Ford-Fulkerson演算法。答案如下，增廣路徑選取不同，過程可能不一樣，但是最大流都是一樣的，就是23：

在(f)中，我們再也無法找到增廣路徑，所以我們的演算法結束，這是我們的最大流。

總結一下，我們要解決的問題是在一個有運載限制的網路系統中，從s到t最多能運輸多少流量。我們引進了流，割的概念，將我們研究的問題轉化為尋找最大流。
如何找最大流？採用Ford-Fulkerson演算法，從0流量開始，生成殘存網路，找到增廣路徑，從增廣路徑中找到最小的殘存容量F，用F來更新原圖，得到新的原圖後，迴圈上述過程直到殘存網路中找不到增廣路徑。此時的原圖中，就有了我們想求的最大流。
那麼我們引進割是為什麼呢，是為了證明Ford-Fulkerson演算法的正確性。這個可以開一篇新的文章來說，想要理解Ford-Fulkerson的執行過程看這篇文章就夠了，如果想知道為什麼Ford-Fulkerson可以找到最大流，那麼請看下一篇部落格。