BZOJ3925: [Zjoi2015]地震後的幻想鄉【概率期望+狀壓DP】
Description
傲嬌少女幽香是一個很萌很萌的妹子,而且她非常非常地有愛心,很喜歡為幻想鄉的人們做一些自己力所能及的事情來幫助他們。 這不,幻想鄉突然發生了地震,所有的道路都崩塌了。現在的首要任務是儘快讓幻想鄉的交通體系重新建立起來。幻想鄉一共有n個地方,那麼最快的方法當然是修復n-1條道路將這n個地方都連線起來。 幻想鄉這n個地方本來是連通的,一共有m條邊。現在這m條邊由於地震的關係,全部都毀壞掉了。每條邊都有一個修復它需要花費的時間,第i條邊所需要的時間為ei。地震發生以後,由於幽香是一位人生經驗豐富,見得多了的長者,她根據以前的經驗,知道每次地震以後,每個ei會是一個0到1之間均勻分佈的隨機實數。並且所有ei都是完全獨立的。 現在幽香要出發去幫忙修復道路了,她可以使用一個神奇的大魔法,能夠選擇需要的那n-1條邊,同時開始修復,那麼修復完成的時間就是這n-1條邊的ei的最大值。當然幽香會先使用一個更加神奇的大魔法來觀察出每條邊ei的值,然後再選擇完成時間最小的方案。 幽香在走之前,她想知道修復完成的時間的期望是多少呢?
Input
第一行兩個數n,m,表示地方的數量和邊的數量。其中點從1到n標號。
接下來m行,每行兩個數a,b,表示點a和點b之間原來有一條邊。
這個圖不會有重邊和自環。
Output
一行輸出答案,四捨五入保留6位小數。
Sample Input
5 4
1 2
1 5
4 3
5 3
Sample Output
0.800000
HINT
提示:
(以下內容與題意無關,對於解題也不是必要的。)
對於n個[0,1]之間的隨機變數x1,x2,...,xn,第k小的那個的期望值是k/(n+1)。
樣例解釋:
對於第一個樣例,由於只有4條邊,幽香顯然只能選擇這4條,那麼答案就是4條邊的ei中最大的數的期望,由提示中的內容,可知答案為0.8。
資料範圍:
對於所有資料:n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。
對於15%的資料:n<=3。
另有15%的資料:n<=10, m=n。
另有10%的資料:n<=10, m=n(n-1)/2。
另有20%的資料:n<=5。
另有20%的資料:n<=8。
思路
首先考慮怎麼統計答案
因為顯然不可以直接列舉邊來統計貢獻
所以可以考慮算出從小到大加入j條邊的時候恰好聯通的方案數(因為方案數/組合數=概率)
設\(f_{i,j}\)表示點集是i連了j條邊不連通的方案數
\(g_{i,j}\)表示點集是i連了j條邊聯通的方案數
很顯然\(f_{i,j}+g_{i,j}=C_{w}^j\)
這個時候w是點集i內部的所有邊的個數
然後我們為了不重複計算可以列舉包含一個點的部分進行dp,比如為了方便取lowbit
然後設當前全集是s,列舉的子集是sub(包含lowbit)
那麼有轉移\(f_{s,i+j}=\sum_{sub\in s}g_{sub,i}*C_{w_{s\oplus sub}}^{j}\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double ld;
const int N = (1 << 10) + 10;
const int M = 110;
int n, m, cnt[N], siz[N];
ld c[M][M], f[N][M], g[N][M];
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
int up = 1 << n;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v; scanf("%d %d", &u, &v);
for (int s = 0; s < up; s++) {
if (!((s >> (u - 1)) & 1)) continue;
if (!((s >> (v - 1)) & 1)) continue;
++cnt[s];
}
}
for (int i = 1; i <= up; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if ((i >> (j - 1)) & 1) ++siz[i];
}
}
for (int i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1];
}
}
for (int s = 1; s < up; s++) {
if (siz[s] == 1) {
g[s][0] = 1;
continue;
}
int cur = s & (-s);
for (int sub = (s - 1) & s; sub; sub = (sub - 1) & s) if (sub & cur) {
for (int i = 0; i <= cnt[sub]; i++) {
for (int j = 0; j <= cnt[s ^ sub]; j++) {
f[s][i + j] += g[sub][i] * c[cnt[s ^ sub]][j];
}
}
}
for (int i = 0; i <= m; i++) {
g[s][i] = c[cnt[s]][i] - f[s][i];
}
}
ld ans = 0.0;
for (int i = 0; i <= m; i++) {
ans += f[up - 1][i] / c[cnt[up - 1]][i];
}
ans /= m + 1;
printf("%.6Lf", ans);
return 0;
}