現在是2018-9-21，距離畢業還有不到兩年的時間，情況樂觀的話，我應該會在一年之內去找一份實習工作。對於找工作這件事，此刻的我還是有些惶恐，我無法確定清晰的職業方向和目標，對自己的知識儲備也不自信。為了給即將面對的求職做些準備，我覺得有必要提升自己的演算法設計能力。讀研以前也接觸過演算法競賽，但是淺嘗輒止。現在我決定重新關注演算法，從這裡踏上正式學習演算法的第一步。

第一題！

題目描述：

題目出處：

解析：

部落格 求1~n中0~9出現的次數給出了暴力破解和數字規律兩種解法，很多文章都歸納了題目中的數字規律，本文通過閱讀解法二程式碼來理解規律。

假設num=123，target=1。

第一次迴圈

首先考慮個位數為1的數字個數

此時base=1，n=123，cur=3，sum=0

當數字個位數為1時，高位數（本例中的百位和十位數）最大隻能取12，當高位數取最大值12時，必須知道target和num個位數數字（cur）的大小關係才能確定滿足條件的數字個數。如果高位數<12(0~11)，則無需考慮target和cur的大小關係就能確定滿足條件的數字個數，因為此時無論num個位數和cur的大小關係如何，數字都小於123。高位數小於12的情況共有12(n/10)種情況，即{0~11}，這正是base*(n/10)代表的意義。

程式碼先考慮高位數<12的情況下，滿足條件的數字個數共有：

sum+=base*(n/10)#sum+=12

然後再分類討論高位數=12時的情況，此時target和cur的大小，可能存在3種情況：target<cur target=cur target>cur，三種情況對結果的影響稍有不同。

拿此例來說，因為1<3，所以個位數字為1的數字除了上面的集合之外，還有121。

sum+=1*base#sum+=1

但如果target不等於1而是大於3，那麼在120~123這個數字範圍內，不存在個位數為target的數字。

（base的意義和target剛好等於cur的情況留在下一次迴圈中討論）

第二次迴圈

總結有哪些數字十位數為1

base=10，num=12，cur=2

同理，此時高位數（本例中的百位數）最大隻能取1，先考慮百位數小於1的情況，共有1(n/10)種，即0.

百位數取0，無需考慮cur和target的大小關係，保證十位數為1且合法的數字有{10,11,……,19}。因為target處在十位上，所以滿足條件的數字個位數共有0~9共10種取值可能，這也是在處理十位數時，base=10的原因。如果target處在千位上，那base將等於100，以此類推。

sum+=base*(n/10)#sum+=10

當百位數為1 時，十位數最大不能超過2（如果十位數等於2，符合要求的數字還有{120,121,122,123}，共num%base+1種情況，處理百位數字為1的時候，base將等於100）

本例中要求十位數字為1，因為1<2，滿足要求的數字除了上述的{10,11,……,19}外，還有{110~119}，共base種可能。

sum+=base#sum+=10

第二次迴圈結束後，n=1，base=100，cur=1。

第三次迴圈

此時，n/10=0，高位數最大能取值0，高位數不能取小於0的數，所以

sum+=base*(n/10)#sum+=0

當高位數取0的時候，再次比較cur和target的大小，因為1=1，所以

sum+=num%base+1#sum+=24

這24個數是{100~123}

至此，1在0~123中出現的次數求解完畢。

特殊情況K=0

當k為1~9時，都可以用這種方式來求解，k取0時，需特殊考慮。

K=0和其他情況的區別在於，target高位的最小值是1而不是0，所以

sum+=base*(n/10)修改為sum+=base*(n/10-1)

此外，K一定小於等於當前位數上的值，所以無需判斷K是否大於cur。

詳細的解釋和程式碼請參見原文

重複計數

我在懷疑這樣會不會造成重複計數，答案是不會。觀察num=12，K=1的計算結果，就發現演算法並沒有重複計數。對於11來說，原因在於個位取1和十位取1分別都對11記了一次數，11有兩個1，本身也需要兩次計數。

（先不考慮1和num個位數數字(cur=3)的大小關係，個位的高位共有(n/10)種取值可能保證個位數為1的數字在0~123之間，它們是{1,11,21,31,……,111}，共有12個，這正是base*(n/10)代表的意義。（如果取高位為12，因為無法確定target和cur的大小，也將無法確定此時滿足條件的數字個數，後面會對這種情況分類討論）

（同樣，先不考慮target和num十位數數字的大小關係，十位的高位只能取0才能保證十位數為1的數字合法，這樣的數字有{10,11,……,19}，因為target處在十位上，所以滿足條件的數字個位數共有0~9共10種取值可能，這也是在處理十位數時，base=10的原因。如果target處在千位上，那base將等於100，以此類推。）