演算法風暴之二—最小的k個數
阿新 • • 發佈：2018-12-11
問題描述
給定一個數組，求這個陣列最小的k個數。
方法一：排序 O(nlogn)
最直觀的方法大概就是排序了，排序大法好，很多問題排個序就可以解決，然而功能過剩的排序顯然不是此問題的最佳解法。使用快排的話，平均時間複雜度為O(nlogn)，是不是有點大了呢？
快排程式碼：
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define RAND(l, r) l+(int)(r-l+1)*rand()/(RAND_MAX+1)
using namespace std;
void data_rand 方法二：找出第k大的數 O(n)
利用快排思想，我們可以找出第k大的數，同時在第kth數左邊的數都小於它，右邊的數都大於它。這樣，劃分的區間左邊就是我們要求得數了，只是此時左邊的數尚未排好序。
快速排序簡稱快排，利用分治的思想，在陣列中隨機選擇一個數，然後以這個數為基準，把大於它的數劃分到它的右側，小於它的數劃分到它的左側，並且遞迴的分別對左右兩側資料進行處理，直到所有的區間都按照這樣的規律劃分好。
那麼在這個問題中，如何利用快排的方法呢？快排是對每一個區間進行分治處理，而此問題不必，我們只要找到第k小的數。每次隨機劃分得的第m個數，如果m < k, 那麼對[m + 1, n - 1]這個區間繼續遞迴；如果m > k，那麼對[0, m - 1]這個區間進行遞迴；如果剛好有m = k，那麼函式結束，區間[0, k - 1]的數就是最小的k個數，即使他們沒有進行排序。
此演算法的平均時間複雜度為O(n), 快速排序的詳細證明可參考“演算法導論”。
但是由於這些操作會更改陣列的資料，且是對整個陣列進行操作，所以針對大規模的資料，會有所限制。這是它的缺點所在。
程式碼：
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#define RAND(l, r) l+(int)(r-l+1)*rand()/(RAND_MAX+1)
using namespace std;
const int maxn = 512;
void rand_data(int n, int *data)
{
srand(1999);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
data[i] = RAND(1, 1024);
}
}
int Partition(int *data, int length, int start, int end)
{
if (start == end) return start;
srand((unsigned)time(NULL));
int index = RAND(start, end);
swap(data[index], data[end]);
int one = start - 1;
for (index = start; index < end; ++index) {
if (data[index] < data[end]) {
++one;
if (index != one) swap(data[index], data[one]);
}
}
++one;
swap(data[one], data[end]);
return one;
}
int main()
{
int n = maxn, data[maxn], k = 10;
rand_data(n, data);
cout << "The original data:" << endl;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf("%4d", data[i]);
if ((i + 1) % 8 == 0) cout << endl;
}
cout << endl;
int index = Partition(data, n, 0, n - 1);
int start = 0, end = n - 1;
while (index != k - 1) {
if (index > k - 1) {
end = index - 1;
index = Partition(data, n, start, end);
} else if (index < k - 1) {
start = index + 1;
index = Partition(data, n, start, end);
}
}
cout << "The least kth data:" << endl;
for (int i = 0; i < k; ++i) {
cout << data[i] << ' ';
}
cout << endl;
}
方法三：使用二叉樹 O(nlogk)
演算法思想
對於這個問題，我們要維護最小的k個數，那麼我們可以構建一棵二叉樹，它可以是最大堆或紅黑樹。以最大堆為例，對於前k個數，我們直接插入到最大堆中，然後對其進行有序化處理。然後遍歷第k ~ n - 1個數，對每一個數，如果它比堆最大值更大，那麼它肯定不是結果，直接跳過它；如果它比堆最大值更小，那麼把最大值剔除，同時將它插入並進行有序化。 這樣，我們始終維護了這個前k小數的序列，當遍歷完整個陣列之後，二叉樹中的資料就是最小的k個數。
時間複雜度O(nlogk), 對每個數進行有序化操作是O(logk)。
從時間上來看，似乎比方法二要慢的些，但是它適合處理大規模資料的情況（記憶體無法全部存取，只能從硬碟依次讀取），它不必更改原來的資料，也不必另開那麼大的空間。
最大堆版
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#define RAND(l, r) l+(int)(r-l+1)*rand()/(RAND_MAX+1)
using namespace std;
void rand_data(int *data, int n)
{
srand(1999);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
data[i] = RAND(1, 1024);
}
}
void down_adjust(int *heap, int k, int index)
{
int i = index, j = 2*index;
while (j <= k) {
if (j + 1 <= k && heap[j + 1] > heap[j]) {
j = j + 1;
}
if (heap[i] < heap[j]) {
swap(heap[i], heap[j]);
i = j;
j = 2 * j;
} else break;
}
}
int main()
{
int n = 512, k = 10;
int data[1050], heap[11] = {};
rand_data(data, n);
cout << "The original data:" << endl;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf("%4d", data[i]);
if ((i+1) % 8 == 0) cout << endl;
}
for (int i = 0; i < k; ++i) {
heap[i + 1] = data[i];
}
for (int i = k/2; i >= 1; --i)
down_adjust(heap, k, i);
for (int i = k; i < n; ++i) {
if (heap[1] <= data[i]) continue;
heap[1] = data[i];
down_adjust(heap, k, 1);
}
cout << "The least kth numbers:" << endl;
for (int i = k; i >= 1; --i) {
cout << heap[i] << ' ';
}
cout << endl;
}
multiset版（紅黑樹）
注意要使用multiset（不去重）而不是set。
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <set>
#define RAND(l, r) l+(int)(r-l+1)*rand()/(RAND_MAX+1)
using namespace std;
const int maxn = 512;
void rand_data(int *data, int n)
{
srand(1999);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
data[i] = RAND(1, 1024);
}
}
int main()
{
int n = maxn, data[maxn], k = 10;
rand_data(data, n);
cout << "The original data:" << endl;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf("%4d", data[i]);
if ((i + 1)%8 == 0) cout << endl;
}
cout << endl;
multiset<int> kth;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (i < k) kth.insert(data[i]);
else {
set<int>::iterator is = kth.end();
is--;
if (*is > data[i]) {
kth.erase(is);
kth.insert(data[i]);
}
}
}
cout << "The least kth numbers:" << endl;
for (set<int>::iterator is = kth.begin(); is != kth.end(); ++is) {
cout << *is << ' ';
}
cout << endl;
}