對陣矩陣特徵向量兩兩正交的證明

阿新 • • 發佈：2018-12-12

假設矩陣 $A$ 是一個對稱矩陣， $x_i$ 和 $x_j$ 是矩陣 $A$ 的任意兩個特徵向量， $\lambda_i$ 和 $\lambda_j$ 是與 $x_i$ 和 $x_j$ 相對應的特徵值，則有： $Ax_i=\lambda_i x_i \tag{1}$ $Ax_j=\lambda_j x_j \tag{2}$ 將式（1）的兩邊左乘以 $x_j^T$ ，可得： $x_j^TAx_i=\lambda_i x_j^T x_i \tag{3}$

Axi=λixjTxi(3) 因為矩陣

A

是一個對稱矩陣，可以對式（3）的左邊做如下變換：

x_j^TAx_i=x_j^T A^T x_i = (Ax_j)^T x_i \tag{4}

將式（2）代入式（4），可得：

x_j^TAx_i=(Ax_j)^T x_i = (\lambda_j x_j)^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{5}

結合式（3），可得：

\lambda_i x_j^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{6}

即：

(\lambda_i - \lambda_j)x_j^T x_i = 0 \tag{7}

因為

\lambda_i \neq \lambda_j

，

x_j^T x_i

必然等於0。由於

x_i

和

x_j

是矩陣

A

的任意兩個特徵向量，所以命題得證。

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