codeforces上的一道題，AC程式碼貼在最後面

目錄

1.猜想

2.嘗試

1.猜想

容易得出一個 n * m 的棋盤，有以下結論：

(1) 如果 n * m 為偶數，棋盤最多能放 n * m 個棋子；

(2) 如果 n * m 為奇數，棋盤最多能放 n * (m - 1) 個棋子。

那麼我們猜想當 n 和 m 足夠大的時候，符合題意的棋子數是不是總能達到這個最大值？

2.嘗試

從簡單的情況開始嘗試找規律，不妨設 n ≤ m，從 n = 1 開始找規律。其中能填滿棋盤的情況會用紅色標註。

① n = 1

m = 1：結果為0

m = 2：結果為0

m = 3：結果為0

m = 4：結果為2

m = 5：結果為4

m = 6：結果為6，能填滿整個棋盤

所以 n = 1 的情況可以以 6 為週期來分析，當且僅當 m % 6 == 0 的時候，可以填滿整個棋盤；

對於剩餘的情況，我們可以構造一個數組 ka[6] = {0, 0, 0, 0, 2, 4}，那麼最多可符合題意的棋子數量 = (m / 6) * 6 + ka[m % 6]。

② n = 2

m = 2：結果為 0

m = 3：結果為 4

m = 4：結果為 8，能填滿

m = 5：結果為 10，能填滿

m = 6：結果為 12，能填滿

容易得出，任何一個大於等於 8 的偶數 eve 都能表示成 eve = 4 * a + 6 * b 的形式，所以當 m 為偶數時(m ≥ 4)，能填滿棋盤

而任何一個大於等於 8 的奇數 odd 總能表示成 odd = 5 * a + 4 * b + 6 * c（用歸納法很容易證明），所以當 m 為奇數時(m ＞ 8)，能填滿棋盤；

現在還剩 m = 7 的情況沒有考慮，因為用4,5,6三個自然數沒辦法構造出7，當 m = 7 時，結果為 12，不能填滿。

所以總結一下 n = 2 的結論：

當 m = 2、m = 3、m = 7 時無法填滿，是特殊情況；

其 m 不為 2 或 3 或 7 時，無論奇數還是偶數，均可填滿棋盤，達到最大值 n * m。

③ n = 3

m = 3 ：結果為 8，剛好達到 n * m - 1 這個最大值

m = 4 ：結果為 12，能填滿

m = 6 ：結果為 18，能填滿

由於“任何大於等於 8 的偶數都可以用 4 和 6 構造出來”，所以當 m 為偶數時(m ≥ 4)，能填滿棋盤；

而當 m 為奇數時，可以把棋盤拆成一個 n * (m - 3) 和 n * 3 的棋盤(n = 3)，

對於 n * (m - 3) 的棋盤，由於 m - 3 一定是大於等於 2 的偶數，所以結合②的結論，能填滿，

對於 n * 3 的棋盤，恰好差一個棋格沒法填，

因此 當 m 為奇數時，雖然不能填滿，但是能達到 n * m - 1 這個最大可容納棋子數。

總結一下 n = 3的結論：

若 m 為偶數，能填滿棋盤；

若 m 為奇數，恰好有一個棋格多餘，能達到奇數棋盤的最大值 n * m - 1。

④ n = 4

先取消掉 n < m 的假設，

m = 2 ：結果為 8，能填滿

m = 3 ：結果為 12，能填滿

由於 m = 2 的時候能填滿，所以當 m 為偶數時，一定能填滿；

若 m 為奇數，同樣可以拆分成 n * (m - 3) 和 n * 3的棋盤，

n * (m - 3) 的棋盤即 n = 4，m` 為偶數的棋盤，一定能填滿，

4 * 3 的棋盤也能填滿，所以當 m 為奇數時，也一定能填滿；

結論：

無論 m 為奇數或是偶數，一定都能填滿，達到最大值 n * m。

⑤ n = 5

先取消掉 n < m 的假設，

m = 2 ：結果為 10，能填滿

m = 3 ：結果為 15，能填滿

與④中的推理方法類似，拆成 n * (m - 3) 和 n * 3 的棋盤可以得出如下結論：

若 m 為偶數，一定能填滿；

若 m 為奇數，雖然不能填滿，但是能達到最大值 n * m - 1。

⑥ n = 6

由於①中說過 1 * 6 的棋盤是可以填滿的，所以無論 m 為奇數還是偶數，總能填滿。

3.得出結論

下面對 n,m ＞ 6 的情況做分析。

還是以1.猜想中的猜想為基準，分成三種情況：n 和 m 都是偶數、n 和 m 都是奇數、n 和 m 一個為奇數，一個為偶數。

A. n 和 m 都是偶數

結合第2部分②④⑥中 m 為偶數時的結論，得出此情況一定能填滿棋盤。

B. n 和 m 一個為奇數，一個為偶數

不妨設 m 是其中的奇數。

還是拆分成 n * (m - 3) 和 n * 3 兩個棋盤，

n * (m - 3) 棋盤就是A中“兩個都是偶數”的棋盤，所以能填滿，

n * 3 棋盤對應的是2的③中"n = 3，m 為偶數"的棋盤，也能填滿。

所以此情況一定能填滿棋盤。

C. n 和 m 都是奇數

還是用拆分的方法，拆成 n * (m - 3) 和 n * 3 兩個棋盤，

n * (m - 3) 棋盤就是B中“一個是奇數一個是偶數”的棋盤，所以能填滿，

n * 3 棋盤對應的是2的③中“n = 3, m 為奇數”的棋盤，不能填滿，剛好空一個棋格，所以能達到奇數棋盤的最大值 n * m - 1，

所以此情況的最大容納棋子數量為 n * m - 1。

結合本小節A、B、C和第二小節①②③④⑤⑥的結論，可以得出最終結論如下：

if (n == 1)
    按照①單獨分析；
else if (n == 2)
    按照②單獨分析，注意 m = 7 的情況；
else if (n * m 為偶數)
    結果是 n * m；
else // n * m 均為奇數
    結果是 n * m - 1；

4.程式碼

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <bitset>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <set>
#include <unordered_set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <functional>
#include <time.h>
#include <cstring>
#include <complex>
#include <stdio.h>
#include <iomanip>
#include <fstream>
#include <list>
#include <numeric>
#include <random>
#include <memory>

using namespace std;

#define MAXN 3e5 + 10
#define MAXNUM 1.5e7 + 10

const long ka[6] = { 0, 0, 0, 0, 2, 4 };

int main()
{
	long long n, m;
	while(cin >> n >> m)
	{
		if (n > m)
		{
			int tmp = n; n = m; m = tmp;
		}
		long long ret;
		if (n == 1) ret = m / 6 * 6 + ka[m % 6];
		else if (n == 2)
		{
			if (m == 2) ret = 0;
			else if (m == 3) ret = 4;
			else if (m == 7) ret = 12;
			else ret = n * m;
		}
		else {
			if (n % 2 && m % 2) ret = n * m - 1;
			else ret = n * m;
		}

		cout << ret << endl;
	}

	return 0;
}