實現二叉樹以及遍歷

在電腦科學中，二叉樹是每個結點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用於實現二叉查詢樹和二叉堆。

二叉樹是遞迴定義的，其結點有左右子樹之分，邏輯上二叉樹有五種基本形態：

(1)空二叉樹——如圖(a)；

(2)只有一個根結點的二叉樹——如圖(b)；

(3)只有左子樹——如圖(c)；

(4)只有右子樹——如圖(d)；

(5)完全二叉樹——如圖(e)。

樹和二叉樹有兩個主要差別：

(1)樹中結點的最大度數沒有限制，而二叉樹結點的最大度數為2；

(2)樹的結點無左、右之分，而二叉樹的結點有左、右之分。

二叉樹的性質：

(1)二叉樹第i層上的結點數目最多為2^(i-1)(i>=1)；

(2)深度為k的二叉樹至多有(2^k)-1個結點（k>=1）；

(3)包含n個結點的二叉樹的高度至少為(logn)+1；(log預設為以2為底)；

(4)在任意一棵二叉樹中，若終端結點的個數為n0，度為2的結點數為n2，則n0=n2+1。

二叉樹的種類：

(1)滿二叉樹：如果二叉樹中所有分支節點的度都為2，則稱它為一棵滿二叉樹。滿二叉樹是一般二叉樹的子集；

(2)完全二叉樹：對於一棵高度為h的二叉樹，如果其第0層至第h-1層的結點都滿（也就是說，對所有0≤i≤h-1，第i層有2^i個結點）。如果最下一層的結點不滿，則所有結點在最左邊連續排列，空位都在右邊。這樣的二叉樹就是一棵完全二叉樹；

(3)平衡二叉樹：平衡二叉樹（Self-balancing binary search tree）又被稱為AVL樹（有別於AVL演算法），且具有以下性質：它是一 棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。平衡二叉樹的常用實現方法有紅黑樹、AVL、替罪羊樹、Treap、伸展樹等。 最小二叉平衡樹的節點的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 這個類似於一個遞迴的數列，可以參考Fibonacci(斐波那契)數列，1是根節點，F(n-1)是左子樹的節點數量，F(n-2)是右子樹的節點數量。

對於平衡二叉樹要特別注意的是，不要求非葉節點都有兩個子結點，僅要求兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，或者為空樹。

關於遍歷：

設L、D、R分別表示遍歷左子樹、訪問根結點和遍歷右子樹， 則對一棵二叉樹的遍歷有三種情況：DLR（稱為先根次序遍歷），LDR（稱為中根次序遍歷），LRD （稱為後根次序遍歷）。

具體的程式碼部分：

class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.item = item
        self.child1 = None
        self.child2 = None

class Tree(object):
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self,item):
        node = Node(item)
        if self.root is None:
            self.root = node
        else:
            q = [self.root]

            while True:
                pop_node = q.pop(0)
                if pop_node.child1 is None:
                    pop_node.child1 = node
                    return
                elif pop_node.child2 is None:
                    pop_node.child2 = node
                    return
                else:
                    q.append(pop_node.child1)
                    q.append(pop_node.child2)

    def traverse(self):#層次遍歷(寬度優先遍歷)
        if self.root is None:
            return None
        q = [self.root]
        res = [self.root.item]
        while q != []:
            pop_node = q.pop(0)
            if pop_node.child1 is not None:
                q.append(pop_node.child1)
                res.append(pop_node.child1.item)

            if pop_node.child2 is not None:
                q.append(pop_node.child2)
                res.append(pop_node.child2.item)
        return res

    def preorder(self,root):#先序遍歷
        if root is None:
            return []
        res = [root.item]
        left_item = self.preorder(root.child1)
        right_item = self.preorder(root.child2)
        return res + left_item + right_item

    def inorder(self,root):#中序遍歷
        if root is None:
            return []
        res = [root.item]
        left_item = self.inorder(root.child1)
        right_item = self.inorder(root.child2)
        return left_item + res + right_item

    def postorder(self,root):#後序遍歷
        if root is None:
            return []
        res = [root.item]
        left_item = self.postorder(root.child1)
        right_item = self.postorder(root.child2)
        return left_item + right_item + res

if __name__ == '__main__':
    t = Tree()
    for i in range(10):
        t.add(i)
    print("層序遍歷：",t.traverse())
    print("先序遍歷：", t.preorder(t.root))
    print("中序遍歷：", t.inorder(t.root))
    print("後序遍歷：", t.postorder(t.root))

參考文獻：

[1] https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91/1602879?fr=aladdin

[2] https://blog.csdn.net/mxz19901102/article/details/80071864