漢諾塔問題介紹：        在印度，有這麼一個古老的傳說：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的聖廟裡，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片，一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必在大片上面。當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一概針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸於盡。

        這個問題有一個優雅的遞迴解法，圖2.4 描述了這個解法。為了把個盤子從木樁 1 移到木樁 3（藉助木樁2），我們需要先把  個盤子遞迴地從木樁 1 移到木樁 2（藉助木樁 3），然後直接把最大的盤子（第

讓我們把前面的一般性方案應用到漢諾塔問題上去。顯然，我們可以選擇盤子的數量作為輸入規模的一個指標，盤子的移動也可以作為該演算法的基本操作。可以清楚地看到，移動的次數只依賴於，因此，對於有下列遞推等式：

                                                   當時，

另一個很明顯的事實是初始條件，因此，對於移動次數我們建立了下面的遞推關係：

                                                   當時，

我們還是使用反向替換法來解這個遞推式：

                                                                                替換

                                        替換

左邊前 3 個求和算式的模式預示著下一個算式將是：，對這個模式進行一般化處理，在做了  次替換以後，得到下式：

因為初始條件是在  的情況下確立的，所以必須讓 ，我們有下列方程來解遞推式（2.3):

這樣得到了一個指數級的演算法，即使  的值不算大，該演算法的執行時間也會長得無法想像。這並不是因為這個演算法不好。不難證明，對於這個問題來說， 這是可能提供的最高效的演算法。事實上，是這個問題本身決定了它在計算上的難度。儘管如此，這個例子還是揭示了一個具有普遍意義的重要觀點：

我們應該謹慎使用遞迴演算法，因為它們的簡潔可能會掩蓋它們的低效率．

如果一個遞迴演算法會不止一次地呼叫它本身，出於分析的目的，構造一棵它的遞迴呼叫樹是很有用的。在這棵樹中，節點相當於遞迴呼叫，我們可以用呼叫引數的值（或者是幾個引數的值）作為節點的標記。對於漢諾塔這個例子來說，它的遞迴呼叫樹在圖2.5中給出。 通過計算樹中的節點數，我們可以得到漢諾塔演算法所做呼叫的全部次數：

這個數字就像我們預測的那樣，和我們早先求得的移動次數是一致的。  

那麼好多人會問64個圓盤移動到底會花多少時間？那麼古代印度距離現在已經很遠，這64個圓盤還沒移動完麼？我們來通過計算來看看要完成這個任務到底要多少時間？ 

我們使用通項式： 。當時 。 

我們假設移動一次圓盤為一秒，那麼一年為31536000秒。那麼18446744073709551615/31536000約等於584942417355天，換算成年為5845.54億年。 

目前太陽壽命約為50億年，太陽的完整壽命大約100億年。所以我們整個人類文明都等不到移動完整圓盤的那一天。

結論：漢諾塔問題通式如下