1 簡介

• 直方圖均衡化是將影象轉化為另一幅影象，轉化後圖像畫素值的分佈更接近均勻分佈。原本影象的畫素值（灰度值）可能集中在某一區域，這樣我們看到的影象其實是比較模糊的，灰度沒有層次感。直方圖均衡化能夠增加影象灰度值的動態範圍，從而達到增強影象對比度的目的，使影象看起來更清晰。
• 直方圖均衡屬於空域影象增強，但並沒有考慮影象的空間資訊。但是又能得到很好的視覺效果，很有意思。

2 推導

• 首先明確我們的目的是得到一個變換關係來對影象進行變換，具體為對所有值為r的畫素點，將r改為s： $s = T(r)$ 通過變換，改變了每種灰度級的個數，變換後圖像的灰度級符合均勻分佈。
• 岡薩雷斯的書裡給了幾個公式，但沒有推導過程，直接給出了$T$
  (r)T(r) 的公式(書中的式3.3-4)，並做了證明，證明使用(3.3-4)變換後的影象，灰度級符合均勻分佈。其實根據證明過程也可以知道$T(r)$ 是如何得出的。
• 那麼$T(r)$ 是如何得出的？ 用$p_r(r)$和$p_s(s)$ 表示r和s的概率密度(PDF)，則有以下性質(3.3-3)： $p_s(s)ds = p_r(r)dr$ $p_s(s)ds$的意義是區間$(s,s+ds)$上的概率，$p_r($
  r)drp_r(r)dr同理。顯然兩者是相等的。可以通過下圖理解一下，下圖的$H_B(r)$應為$p_r(s)$，$H_A(r)$ 應為$p_s(s)$。

則有$\frac{dT(r)}{dr} = \frac{ds}{dr} = \frac{p_r(r)}{p_s(s)}$ 因為$S$為均勻分佈，即$p_s(s) = \frac{1}{L-1}$，$L$為灰度級數(一般為256)，所以 $T$

• 對一張影象，其均衡化後的影象是唯一的，可以利用這一點來進行直方圖匹配（規定化）。

3 程式設計實現

• 實際上影象中的畫素值是離散隨機變數，那麼有 $s_k = T(r_k) = (L-1)\sum_{j=0}^{k}p_r(r_j) = (L-1)\sum_{j=0}^{k} \frac{n_j}{n} \qquad k = 0,1,2, ... ,L-1$ 其中$n$ 為畫素點總數，$n_j$ 為畫素值為j的畫素點數量，$L$為灰度級數。注意，$\frac{n_j}{n}$得到的可能是小數，所以得到的$s_k$可能為小數，灰度值為小數時也可以顯示，但如果要求得到的資料為指定位數（如8位）那就進行取整。

3.1 python和opencv

3.2 純C語言