一元四次方程為什麼沒有12個解

高等代數的教科書裡面講到使用Ferrari(費拉里)解法求解四次方程時，從三次方程求得u的三個根，如果依次代入分解後得兩個二次方程引數，最後求的四次方程得解，如果對每一個u四次方程都有解那麼4個解，那麼是不是最後有 $3*4=12$ 個解呢？很多教材只是簡單的講到對每一個u四次方程的解都是一樣。就這麼簡單一句要秒殺多少腦細胞。直接證明有點難，反正作者本人是沒能直接證明出來。現在介紹尤拉的方法解四次方程，從另一個角度能看到為什麼對於每一個u求解出來的四次方程的根相同。每一個一元四次方程變數代換x=y-b/4都可以消去三次項變成為下式 $\begin{matrix} (1) & x^{4} + p x^{2} + q x + r = (x^{2} + s x + t) \end{matrix}$

(x2+ux+v)x^4 + px^2 + qx + r=(x^2+sx+t)(x^2+ux+v)\tag{1}

x^{4} + p x^{2} + q x + r = (x^{2} + s x + t) (x^{2} + u x + v) (1)

根據(1)式求待定的係數得到下面的方程組

\begin{aligned} s&amp;=-u\\ p&amp;=t-u^2+v\\ q&amp;=u(v-t)\\ r&amp;=tv \tag{2} \end{aligned}

整理方程組，將u,t,v看作是變數則根據三元一次方程組可以求得下面的關係

\begin{aligned} s&amp;=-u\\ t&amp;=\frac{(p+u^2-\frac{q}{u})}{2}\\ v&amp;=\frac{(p+u^2+\frac{q}{u})}{2}\tag{3} \end{aligned}

且由於

u^2(p+u^2)^2-q^2=4u^2r

若設

U=u^2

則U滿足下面的三次多項式

U^3+2pU^2+(p^2-4r)U-q^2=0\tag{4}

回過頭來看等式(1)如果設

r_1

與

r_2

是方程

x^2+sx+t=0

的根，

r_3

和

r_4

是方程

x^2+ux+v=0

的兩個根。顯然有下面的等式成立

r_1+r_2+r_3+r_4=0\tag{5}

且因為

-(r_1+r_2)(r_3+r_4)=u^2

所以

-(r_1+r_2)(r_3+r_4)

也一定是方程(4)的解。那方程(4)的另外兩個根會是什麼呢？普通人思考到這裡時也許就戛然而止了，但是尤拉卻繼續發現兩外兩個根是

-(r_1+r_3)(r_2+r_4)

與

-(r_1+r_4)(r_2+r_3)

若令

\begin{aligned} -(r_1+r_2)(r_3+r_4) &amp;=(r_1+r_2)^2=\alpha\\ -(r_1+r_3)(r_2+r_4) &amp;=(r_1+r_3)^2= \beta\\ -(r_1+r_4)(r_2+r_3) &amp;= (r_1+r_4)^2=\gamma\tag{*}\text{根據韋達定理$r_1+r_2=-u,r_3+r_4=u$} \end{aligned}

要證明它們是方程(4)的三個根那麼等同於必須滿足韋達定理的條件，即滿足

[-(r_1+r_2)(r_3+r_4)]+[-(r_1+r_3)(r_2+r_4)] +[-(r_1+r_4)(r_2+r_3)]=\alpha+ \beta+\gamma=-2p\tag{6}

\begin{matrix} (7) & [- (r_{1} + r_{2}) (r_{3} + r_{4})] [- (r_{1} + r_{3}) (r_{2} + r_{4})] + [- (r_{1} + r_{2}) (r_{3} + r_{4})] [- (r_{1} + r_{4}) (r_{2} + r_{3})] + [- (相關推薦 .r{ margin-bottom:10px; border-bottom:1px solid #f1f1f1; padding-bottom:10px;}
	.r p{ color:#999; line-height:25px;}
	.r h5 a{  font-size:16px;  line-height:25px;}
	.r h5 a:hover{ color:#ff6600} 一元 四 次 方程 為什麼 沒有 12 個 解 高等代數的教科書裡面講到使用Ferrari(費拉里)解法求解四次方程時，從三次方程求得u的三個根，如果依次代入分解後得兩個二次方程引數，最後求的四次方程得解，如果對每一個u四次方程都有解那麼4個解，那麼是不是最後有3∗4=123*4=123∗4=12個解呢？很多 四 次 方程 根式 解 + 四 次 以上 方程 近似 解 的js實現程式碼（1）——複數類+複數常量+三角函式簡表 本人正在寫矩陣史詩級玩法系列部落格，寫到求二元二次方程組的地方來了，消元后最高會生成一元四次方程，而這個求根公式雖然成熟，但程式碼量也不少，所以單獨封裝成工具類。

本不打算講解的，但考慮到有的朋友可能沒接觸過複數，或者說雖然接觸過複數但已經忘得一乾二淨，那這裡我就簡單說一下 Python學習——七周 四 次 課（ 12 月7日） add   cas   存儲   創建   不存在   數字   bin   集合體   內容   七周四次課（12月7日）13.12/13.13 memcache常用方法
 
存儲命令： set/add/replace/append/prepend/cas獲取命令： get/gets其他命令： delete 一周第 四 次 課（ 12 月14日） linux一周第四次課（12月14日）1.13 單用戶模式用途：重置root密碼（需要grub密碼或grub未加密）首先重啟linux   reboot 或init 6或shutdown -r now重啟界面按e進入grub rescue模式（grub是一個來自GNU項目的啟動引導程序）進入後按方向鍵定位到l 二周第 四 次 課（ 12 月21日） 有意義   other   mbo   --   目錄文件   rect   /usr   表格   默認   二周第四次課（12月21日）2.18 特殊權限set_uid2.19 特殊權限set_gid2.20 特殊權限stick_bit2.21 軟鏈接文件2.22 硬連接文件
特殊權限: 一元 三 次 方程 同一行   提示   int   是我   分享圖片   ==   include   urn   opened   題目描述
有形如：ax3+bx2+cx+d=0 這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的系數(a，b，c，d 均為實數)，並約定該方程存在三個不同實根(根的範圍在-100至100之間)，且根 洛谷 [P1024] 一元 三 次 方程 求解【二分答案】 https   格式   -m   要求   ble   方程   print   else   如果   題目鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1024
 
題目描述
有形如：ax3+bx2+cx+d=0 這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的系數(a， luogu1024 一元 三 次 方程 求解 iostream   ble   tar   names   註意   stream   左右   ret   ==   題目大意
已知一元三次方程\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)：

有且只有3個根
對\(\forall x, x\in[-100,100]\)
對\(\forall x_1,x_2, 洛谷 P1024 一元 三 次 方程 求解 cstring   stream   ()   pro   fin   targe   target   bsp   reg   　　　　　　洛谷 P1024 一元三次方程求解
題目描述
有形如： ax3 + bx2 + cx1 + dx0 = 0 這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的系數( a,b,c [P1034][NOIP2001] 一元 三 次 方程 求解 (二分) 二分 
 
 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c,d;
double fc(double x)
{
    return a*pow(x,3)+b*pow(x,2)+c*x+d;
}
int main() 題解 luogu P1024 【 一元 三 次 方程 求解】 這道題的二分原理題目已給出：f(x)*f(x+1)<0時，x至x+1中必有一根。那麼，我們只需要迴圈-100至100，再用分治考慮小數部分就可以了。下面附上程式碼： 
 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double zcmu-2116: 一元 三 次 方程 求解（二分，列舉） 2116: 一元三次方程求解

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[Submit][Status][Web 求解 一元 多 次 方程 的兩種方法：牛頓迭代法和二分法 求解方程x*x*x-2*x-1=0，C語言實現
一：牛頓迭代法，牛頓迭代法是從泰勒公式中取前兩項構成線性近似方程，從x0開始，一步一步接近近似解，直到誤差在限定範圍內。
//牛頓迭代法求求解方程的根 
#include <stdio.h>
#include &l 【Openjudge：Noi】7891: 一元 三 次 方程 求解 c++ 【Openjudge：Noi】7891:一元三次方程求解

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描述

有形如：ax3+bx2+cx+d=0  這樣的一個一元三次方程。

給出該方程中各項的係數(a，b，c，d  均為實數)，並約定該方程 藍橋杯 一元 三 次 方程 求解 問題描述
　　有形如：ax3+bx2+cx+d=0
這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的係數(a，b，c，d
均為實數)，並約定該方程存在三個不同實根(根的範圍在-100至100之間)，且根與根 一元 三 次 方程 解法 有形如：ax3+bx2+cx+d=0  這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的係數(a，b，c，d  均為實數)，並約定該方程存在三個不同實根(根的範圍在-100至100之間)，且根與根之差 演算法訓練 一元 三 次 方程 求解 藍橋杯 問題描述

　　有形如：ax3+bx2+cx+d=0
 這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的係數(a，b，c，d 均為實數)，並約定該方程存在三個不同實根(根的範圍在-100至100之間)，且根與根之差的絕對值>=1。要求三個實根。。

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　　四個實 一元 三 次 方程 -盛金公式求解 原理參考-百度百科（http://baike.baidu.com/link?url=eA-bEvbcOBM2XmA4rzIG-lgci4MQdQcr7lCzCHBW-qG-qcPaDNovXp_jYxS2FUjlrOh1obH_D3Yv6ME2JYOxPyCgKhHIaXC 某葉C語言學習上重大的一步—— 一元 三 次 方程 求解 目前某葉編的最難的程式了......感覺算是跨越吧，之前最難的是一元二次方程求解，雖然是最“難”的，只是因為最長，但是寫起來還是很輕鬆的
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