轉自jzoj & c渣渣黨福利

題目描述

數學的王國裡，有一些約數國王……約數國王的定義是這樣的：一個大於1的整數n，如果它約數的個數比1~n-1的每個整數的約數的個數都要多，那麼我們就稱它為約數國王。聰明的（______）在奧數書上認識了它們，於是產生了一個問題:他想知道L到R之間一共有多少個約數國王？它們分別又是誰？

輸入

輸入檔案只有一行，包含一個l，一個r，表示小明想知道的範圍。

輸出

只有一行，第一個數h，表示l~r內一共有多少個約數國王，接下來h個從小到大的數(為了防止國王們打架，你需要按順序輸出。)，表示約數國王分別是誰。

樣例輸入

1 100

樣例輸出

8 2 4 6 12 24 36 48 60

資料範圍限制

對於30%的資料，1<=l<=r<=200000。
對於50%的資料，1<=l<=r<=500000。
對於70%的資料，保證最大的約數國王的約數的個數不大於1000。
對於100%的資料，1<=l<=r, 並且保證l，r在64位整型以內，最大的約數國王的約數的個數不大於200000。

題解 & 思路

首先很肯定的 是暴力：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int biao[10][10] = {{0,0},{0,1},{0,2,4,8,6},{0,3,9,7,1},{0,4,6},{5,5},{6,6},{0,7
 
,9,3,1},{0,8,4,2,6},{0,9,1}};
//手動打表模擬各位次方
int len[10] = {1,1,4,4,2,1,1,4,4,2};
int t,ans,n,a,b;
int main()
{
	//freopen("superpow.in","r",stdin);
	//freopen("superpow.out","w",stdout);
	scanf("%d",&t);
	while (t--)
	{
		ans = 1;
		scanf("%d",&n);
		for (int i = 1;i <= n;i++)
		{
			scanf("%d%d",&
 
a,&b);
			int x = a;
			while (--b)
			{
				if (x == len[a]) x = biao[a][x];
				else x = biao[a][x % len[a]];
			}
			ans *= x;
			ans %= 10;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

所以說 這是一個U秀的方法

正解在此

首先我們可以知道任意一個整數都可以理解為多個素數的乘積(咀嚼一下)
辣麼，我們可以得到如下公式

$x = A_1 ^ {P_1} * A_2^ {P_2} *A_3^ {P_3} * ……A_k^ {P_k}$

也就是說我們只要求這個，就是$x$的約數個數：（全排列問題嘛，$p[i]$種情況還有$k$它本身）

$\prod \frac{k}{i=1} (P_i + 1)$

然後顯而易見，我們就能看出 一個很簡單的式子

$F[i] = min(f[k][i] | 0 &lt; k \leq \infty)$

申明一個F[ ]陣列，這個陣列用於儲存$i$個質因子的數中最小是誰，然後我們可知這樣的陣列是一定存在且可被求出的。
此時提到了一個$f$陣列，又是用來幹嘛呢？
其實這個陣列是用來儲存選擇了$k$個前質因數（如果不是前幾個不一定最大，有想法可以自己證明），有i個約數的數的

巴拉拉魔法能量，敲黑板

$f[k + 1][i + 1] = min(f[k][i] * prime[k + 1] ^j|0 &lt; j \leq \infty)$

此處的$prime[i]$是第i個素數(抱歉，要自己打，想用現成的函式門都沒得）——篩吧篩吧我的驕傲放縱

int isPrime(int n)//julao傾情貢獻尊享暴力篩程式碼
{	
	float n_sqrt;
	if(n <= 3) return 1;
	if(n%6!=1 && n%6!=5) return 0;//julao菠蘿蜜之優化
	n_sqrt=floor(sqrt((float)n));
	for(int i=5;i<=n_sqrt;i+=6) if(n%(i)==0 || n%(i+2)==0) return 0;
    return 1;
} 

有了蜜汁篩的強力加持，我們的程式便呼之欲出了——

呵呵，依然不是程式：

const//學自大佬程式碼，c渣渣壞了，Cp頂替一下吧
 maxn=161281;
 maxint=9223372036854775807;
 zs:array[1..31]of longint=
 (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,57,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127);
var
 f,q:array[1..13,1..170000]of qword;
 l,r,sum,min:int64;
 c,b:array[1..170000]of qword;
 
 
procedure dp;
var i,j,k,o:longint; p:qword;
begin
 for i:=1 to 13 do
  for j:=1 to 170000 do
   f[i,j]:=maxint;
  f[1,1]:=1;
  f[1,2]:=2;
  for i:=3 to 63 do
   f[1,i]:=f[1,i-1]*2;
  fillchar(q,sizeof(q),1);
 for i:=1 to 12 do
  for j:=1 to 81000 do
  begin
   p:=1;
    if q[i,j]>maxn div j then o:=maxn div j
    else o:=q[i,j];
    for k:=1 to o do
    begin
     if maxint div zs[i+1]<p then break;
     p:=p*zs[i+1];
     if maxint div p<f[i,j] then break;
     if f[i,j]*p<f[i+1,j*(k+1)] then begin
     f[i+1,j*(k+1)]:=f[i,j]*p;
     q[i+1,j*(k+1)]:=k;
     end;
    end;
   end;
end;
 
procedure main;
var i,j:longint;
begin
 readln(l,r);
 dp;
 fillchar(c,sizeof(c),$7);
 b[maxn+1]:=maxint;
 for i:=maxn downto 1 do
  begin
   min:=maxint;
   for j:=1 to 13 do
   if f[j,i]<min then min:=f[j,i];
   c[i]:=min;
   if c[i]<b[i+1] then b[i]:=c[i] else b[i]:=b[i+1];
  end;
  for i:=2 to maxn do
   if (c[i]<b[i+1])and(c[i]>=l)and(c[i]<=r) then inc(sum);
end;
 
procedure print;
var i,j:longint;
begin
 for i:=2 to maxn do
  if (c[i]>=l)and(c[i]<=r)and(c[i]<b[i+1]) then write(c[i],' ');
end;
 
begin
  assign(input,'king.in');reset(input);
  assign(output,'king.out');rewrite(output);
 main;
 write(sum,' ');
 print;
 close(input); close(output);
end.