原文;https://blog.csdn.net/swj110119/article/details/51777422 一、學習心得： 學習影象處理的過程中，剛開始遇到影象梯度和一些運算元的概念，這兩者到底是什麼關係，又有什麼不同，一直困擾著我。後來在看到影象分割這一模組後才恍然大悟，其實影象的梯度可以用一階導數和二階偏導數來求解。但是影象以矩陣的形式儲存的，不能像數學理論中對直線或者曲線求導一樣，對一幅影象的求導相當於對一個平面、曲面求導。對影象的操作，我們採用模板對原影象進行卷積運算，從而達到我們想要的效果。而獲取一幅影象的梯度就轉化為：模板（Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian運算元）對原影象進行卷積，不過這裡的模板並不是隨便設計的，而是根據數學中求導理論推匯出來的。下面就逐一分析各梯度運算元的推導過程。 二、運算元推導過程 1、知識引入： 在一維連續數集上有函式f(x),我們可以通過求導獲得該函式在任一點的斜率，根據導數的定義有：

在二維連續數集上有函式f(x,y),我們也可以通過求導獲得該函式在x和y分量的偏導數，根據定義有：

2、梯度和Roberts運算元： 對於影象來說，是一個二維的離散型數集，通過推廣二維連續型求函式偏導的方法，來求得影象的偏導數，即在(x,y)處的最大變化率，也就是這裡的梯度： 梯度是一個向量，則(x,y)處的梯度表示為： 其大小為： 因為平方和平方根需要大量的計算開銷，所以使用絕對值來近似梯度幅值： 方向與α(x,y)正交： 其對應的模板為：

上面是影象的垂直和水平梯度，但我們有時候也需要對角線方向的梯度，定義如下： 對應模板為：

     上述模板就是Roberts交叉梯度運算元。
 

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2*2大小的模板在概念上很簡單，但是他們對於用關於中心點對稱的模板來計算邊緣方向不是很有用，其最小模板大小為3*3。3*3模板考慮了中心點對段資料的性質，並攜帶有關於邊緣方向的更多資訊。

3、Prewitt和Sobel運算元： 在3*3模板中：

我如下定義水平、垂直和兩對角線方向的梯度： 該定義下的運算元稱之為Prewitt運算元：

Sobel運算元是在Prewitt運算元的基礎上改進的，在中心繫數上使用一個權值2，相比較Prewitt運算元，Sobel模板能夠較好的抑制（平滑）噪聲。 計算公式為： Sobel運算元：

上述所有運算元都是通過求一階導數來計算梯度的，用於線的檢測，在影象處理中，通常用於邊緣檢測。在影象處理過程中，除了檢測線，有時候也需要檢測特殊點，這就需要用二階導數進行檢測。

4、Lapacian運算元： 一階導數：

二階導數：

我們感興趣的是關於點x的二階導數，故將上式中的變數減1後，得到：

在影象處理中通過拉普拉斯模板求二階導數，其定義如下： 對應模板為： 模板中心位置的數字是-8而不是-4，是因為要使這些係數之和為0，當遇到恆定湖對區域時，模板響應應將0。

在用lapacian運算元影象進行卷積運算時，當響應的絕對值超過指定閾值時，那麼該點就是被檢測出來的孤立點，具體輸出如下：